Summenzeichen - Summe berechnen

30.12.2013, 17:50

Bienchen&Blümchen

Summenzeichen - Summe berechnen

Meine Frage:
Hallo ihr Lieben!

Ich habe absolut keine Ahnung wie man die Gesamtsumme ausrechnen kann, wenn man eine Summe z.B. in dieser Form gegeben hat:

oberer Laufindex n=2014

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n (-1)^{n-1}\cdot \frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$

Das Beispiel ist natürlich etwas ungünstig gewählt, da es sich um eine geometrische Reihe handelt, aber mir geht es hier vielmehr um das Grundverständnis der ganzen Sache... hinter dem Summenzeichen können ja auch Ausdrücke stehen für die es keine, auf den ersten Blick ersichtliche, Formel gibt mit der man das Summenzeichen umgehen kann.

Meine Ideen:
Der theoretische Umgang mit dem Summenzeichen ist mir klar, also jeden Summanden für n=2 bis n=2014 aufsummieren, aber das kann man doch bei 2012 Summanden nicht "von Hand zu Fuß" berechnen müssen, oder etwa doch????

30.12.2013, 18:22

Kasen75

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Hallo,

wenn du die Indizes richtig gesetzt hast, dann steht mit n=2014 im Prinzip da:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{2014} (-1)^{2013}\cdot \frac{2013}{2014} \end{eqnarray*}$

Das kann man dann auch ausrechnen.

Es gilt mämlich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a=n \cdot a \end{eqnarray*}$

Welche Probleme gibt es hier ?

Grüße.

30.12.2013, 19:13

Bienchen&Blümchen

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Und das ist dann die Summe aller Summanden für n=2,3,4, ... , 2014???

Und wie ist das dann z.B. bei

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=5}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

mit n=10? Klar kann man das noch so ausrechnen...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}+... + \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$

aber wäre der obere Laufindex z.B. 500?! das ist doch dann nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{500} \end{eqnarray*}$

Ich glaub ich steh echt auf dem Schlauch verwirrt

30.12.2013, 19:47

Kasen75

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Zitat:

Original von Bienchen&Blümchen
Und das ist dann die Summe aller Summanden für n=2,3,4, ... , 2014???

Wobei die Summanden immer gleich sind. Sie ändern sich nicht, wenn sich der Wert von k verändert.

Zitat:

Original von Bienchen&Blümchen

Und wie ist das dann z.B. bei

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=5}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

mit n=10? Klar kann man das noch so ausrechnen...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}+... + \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$

aber wäre der obere Laufindex z.B. 500?! das ist doch dann nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{500} \end{eqnarray*}$

Ich glaub ich steh echt auf dem Schlauch verwirrt

Hier kenne ich nur eine Abschätung

Für die Partialsumme der harm. Reihe kenne ich nur eine Abschätzung: $\begin{eqnarray*} ln(n)+\frac{1}{n} \leq H_n \leq ln(n)+1 \end{eqnarray*}$

Ein geschlossenen Ausdruck für die exakte Partialsumme ist mir nicht bekannt.

30.12.2013, 20:31

Bienchen&Blümchen

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Zitat:

Wobei die Summanden immer gleich sind. Sie ändern sich nicht, wenn sich der Wert von k verändert.

ausgeschrieben wäre das doch:

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3}- \frac{3}{4} + \frac{4}{5}+ ... - \frac{2013}{2014}= ??? \end{eqnarray*}$

die Summanden sind doch nicht gleich?!

Aber vielen Dank schon mal für die Beantwortung meiner anderen Frage!!!!!

30.12.2013, 20:49

Kasen75

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Doch, die Summanden sind immer gleich.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{2014} (-1)^{2013}\cdot \frac{2013}{2014} \end{eqnarray*}$

Summand für k=2: $\begin{eqnarray*} (-1)^{2013}\cdot \frac{2013}{2014} \end{eqnarray*}$

Summand für k=123: $\begin{eqnarray*} (-1)^{2013}\cdot \frac{2013}{2014} \end{eqnarray*}$

Es kommt nämlich hier $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n (-1)^{n-1}\cdot \frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$ kein Index k hinter dem Summenzeichen vor. Und der Wert für n ist ja vorgegeben-diesen kann man direkt einsetzen.

Das hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3}- \frac{3}{4} + \frac{4}{5}+ ... - \frac{2013}{2014}= ??? \end{eqnarray*}$

stimmt somit nicht.

30.12.2013, 21:44

Bienchen&Blümchen

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Ok! Vielen Dank! Ich glaube jetzt habe ich es verstanden smile

Würde aber statt dem n hinter dem Summenzeichen ein k stehen wäre meine Schreibweise richtig?!

Wenn ja... wie würde man das dann berechnen?

31.12.2013, 00:19

Kasen75

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Zitat:

Original von Bienchen&Blümchen

Würde aber statt dem n hinter dem Summenzeichen ein k stehen wäre meine Schreibweise richtig?!

Ja.

Zitat:

Original von Bienchen&Blümchen

Wenn ja... wie würde man das dann berechnen?

Es könnte eine Vereinfachung, zwecks Berechnung, geben. Ich komme bloß im Moment nicht drauf.

31.12.2013, 12:25

Kasen75

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Eine, für mich nachvollziehbare Vereinfachung, scheint es nicht zu geben. Ich habe mal den Ausdruck hier eingegeben.
Das Ergebnis ist nicht einfach zu interpretieren.
Insofern kann man die Suche nach einer anderen Vereinfachung vermutlich einstellen.

31.12.2013, 14:02

Bienchen&Blümchen

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Vielen lieben Dank für deine Bemühungen!

Somit wäre auch meine Frage vom Anfang beantwortet Freude

Es gibt also keine "Goldstandardmethode" mit der man jede beliebige Summe, die durch ein Summenzeichen dargestellt ist, berechnen kann!

31.12.2013, 18:04

Kasen75

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Zitat:

Original von Bienchen&Blümchen

Es gibt also keine "Goldstandardmethode" mit der man jede beliebige Summe, die durch ein Summenzeichen dargestellt ist, berechnen kann!

Wie so häufig bei vielen mathematischen Problemen.

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