Dreieck mit größtmöglicher kleinster Seite für innerhalb eines Rechtecks gesucht (ggf einbeschriebn)

02.01.2014, 07:28

Kubus

Dreieck mit größtmöglicher kleinster Seite für innerhalb eines Rechtecks gesucht (ggf einbeschriebn)

Meine Frage:
Um 3 Störenfriede in einem Klassenzimmer möglichst weit auseinander zu setzen, ist ein in einem Rechteck eingebettetes Dreieck gesucht, dessen kürzeste Seite längstmöglich ist. (gleichschenklige oder gleichseitige Dreiecke sind nicht ausgeschlossen.

_______
Für das Quadrat habe ich mich mit der Lösung beschäftigt: (siehe meine Ideen)

Meine Ideen:
Siehe die Grafik in Rätsel und Spiele Matroids Planet 2003

Ich suche ein Dreieck mit einer größeren kleinsten Seite als der Quadratseite. Dieses Dreieck soll ganz in das Quadrat hineinpassen. Ich fälle auf einer Quadratseite eine Mittelsenkrechte und zirkle ein gleichwinkliges Dreieck ins Innere des Quadrats ab. Dann drehe ich es an einem Eckpunkt, in dem Quadrat und Dreieck koinzidieren, ins Innere des Quadrates, bis die Lage symmetrisch ist. Zwei 15°-Winkel flankieren den 60°-Winkel des gleichseitigen Dreiecks. Die beiden nicht mit einer QuadratsEcke koinzidierenden Ecken des Dreiecks erreichen die gegenüberliegenden Seiten des Quadrats nicht ganz. Aufgrund der Symmetrie können sie aber gleichmäßig verlängert werden, bis sie "gleichzeitig" die Quadratseiten erreichen. Dann ist aber auch die der (mit der Dreiecksecke koinzidierenden) QuadratsEcke gegenüberliegende Dreiecksseite so mitgewachsen, dass weiterhin ein gleichseitiges Dreieck gegeben ist. Dass hiermit ein eigebettetes gleichseitiges Dreieck erreicht ist, dürfte mit dieser Konstruktion bewiesen sein, es wird jedoch noch mit der Berechnung verifiziert. Dass es kein Dreieck mit einer größeren kleinsten Seite im Quadrat einbeschrieben geben kann, ist irgendwie offensichtlich, aber nicht formell bewiesen. (?) Die Lösung mit einem gleichschenkligen Dreieck (nämlich Diagonale und zwei Seiten des Quadrats) erreicht nur einen - allerdings gering - geringeren geringsten Höchstabstand. Eine Lösung mit drei verschieden langen Seiten scheint sich fürs Quadrat direkt auszuschließen.

Die Beweisführung, dass es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, das auf den beiden Quadratseiten mit Winkeln von 75 und 45° anliegt, ergibt sich auch aus der Berechnung der beiden nicht-symmetrisch im Quadrat gelegenen Dreiecksseiten. Mit dem 15°-Tangens wird die Gegenkathete berechnet. Dieser Tangens von pi/12 lässt sich umformen auf (2 minus Wurzel aus 3). Damit lässt sich dann sogleich die Fortsetzung jener Quadratseite (Länge 1), auf der die soeben berechnete Gegenkathete liegt, berechnen: 1- (2-sqrt2). Diese Seite bildet mit der anliegenden Dreiecksseite und der anliegenden Nebenkathete ein gleichschenkliges Dreieck, für das gilt: Das Quadrat der Seite des gleichseitigen Dreiecks ist gleich dem Doppelten des Quadrats von 1 minus tan 15°. Die gesuchte Größe der Dreiecksseite ist gleich der Wurzel aus ( 8 - 4 mal Wurzel aus drei). Dasselbe Ergebnis erhält man, wenn man im Dreieck mit dem 15°-Winkel die Seite des gleichseitigen Dreiecks berechnet, welche der Wurzel aus der Summe des Quadrats der Quadtratseitenlänge und des Quadrats von tan 15° entspricht.

Zur Berechnung von tan 15° siehe Online-Video

Taschenberechnet ergibt sich
tan(pi/12) = 2-sqrt(3) = 0.26794919243112270647
1- 0,26794919243112270647 = 0.73205080756887729353
sqrt(8-4*sqrt(3)) = 1.0352761804100830494
Diese Lösung ist also dreieinhalb Prozent größer als die Quadratseite.

02.01.2014, 12:13

HAL 9000

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RE: Dreieck mit größtmöglicher kleinster Seite für innerhalb eines Rechtecks gesucht (ggf einbeschri
Zum allgemeinen Rechteck: Sei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die größere der beiden Rechteckseiten und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die kleinere, d.h. $\begin{eqnarray*} a\geq b \end{eqnarray*}$ . Man unterscheidet nun zwei Fälle:

Fall 1: $\begin{eqnarray*} b\geq \frac{\sqrt{3}}{2}a \end{eqnarray*}$

[attach]32512[/attach]

Ähnlich wie beim Quadrat liegt hier einer der drei Punkte in einer Rechteckecke (in der Skizze D), während die anderen beiden Punkte auf den beiden Seiten liegen, die nicht an diese Ecke grenzen. Das eingepasste gleichseitige Dreieck hat die Seitenlänge $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{a^2-\sqrt{3}ab+b^2} \end{eqnarray*}$ , dabei ist in der Skizze $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{3}b-a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{3}a-b \end{eqnarray*}$ .

Fall 2: $\begin{eqnarray*} b < \frac{\sqrt{3}}{2}a \end{eqnarray*}$

Hier liegen zwei der Dreieckpunkte in benachbarten Ecken des Rechtecks, verbunden durch die längere Rechteckseite $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Der dritte Eckpunkt ist der Mittelpunkt der anderen langen Rechteckseite. Es entsteht ein gleichschenkliges, nicht gleichseitiges Dreieck mit der Schenkellänge $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a^2}{4}+b} < a \end{eqnarray*}$ .

02.01.2014, 20:22

Kubus

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ganz ganz super, herzlichen Dank, HAL
Toll, überzeugend und anschaulich klar: größer geht es offenbar nicht. Aber ist das schon ein Beweis? Wie beweist man, dass es keine größere kleinste Seite eines irgendwie eingebetteten Dreiecks geben kann?

••••••
Dann etwas ganz anderes: Wenn Sie/Du dafür sich nicht "zuständig" empfinden, bitte einfach ignorieren. Ich bin erstmals hier. Es ist recht interessant (kann aber anscheinend süchtig machen;-), konnten Sie die Grafik einfach so zeichnen, dann würde ich das gerne lernen, vielleicht mit dem Beispiel der länglicheren Rechtecke.

Jedenfalls danke, ich werde mich vermutlich immer wieder gerne, wenn ich etwas Wichtiges zu tun hätte, hier umschauen Augenzwinkern

kubus

02.01.2014, 22:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kubus
Aber ist das schon ein Beweis?

Ist es natürlich nicht, es ist lediglich das Ergebnis. Augenzwinkern

1.Zum Beweis kann man sich zunächst überlegen, dass ein Dreieckpunkt eines solchen "maximalen" Dreiecks in der Rechteckecke liegen muss.

2.Man kann die Dreiecksseiten in Abhängigkeit von x,y darstellen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ ist streng monoton wachsend in x,y

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(a-x)^2+b^2} \end{eqnarray*}$ ist streng monoton fallend in x

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+(b-y)^2} \end{eqnarray*}$ ist streng monoton fallend in y

Die minimale Dreiecksseite wird also höchstens dann maximal, wenn

a) x,y auf den Randwerten liegen, also x=0,x=a,y=0 oder y=b

oder "echt" im inneren der Intervalle $\begin{eqnarray*} x\in(0,a),y\in(0,b) \end{eqnarray*}$ falls

b) das Dreieck gleichseitig ist.

Aus diesen Betrachtungen heraus bekommt man obige Lösungen - bisschen Arbeit ist das natürlich noch, von nichts kommt nichts. Augenzwinkern

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