Problem in einem Beweis zur Idempotenz eines Vektors

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02.01.2014, 14:12	waack2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem in einem Beweis zur Idempotenz eines Vektors Meine Frage: Also die Aufgabe lautet: Seien u,v element beide verschieden vom Nullvektor des R^n. Sei ferner A:=In-uv´. Beweise: A idempotent <=>v´u=1 Meine Ideen: Also das ganze ist ja an und für sich recht einfach.. Es muss ja letztendlich wegen der Idempotenz gelten: A²=A. Dann hat mam also: (Also In ist hier immer die Einheitsmatrix...) A²=(In-uv`)²=(In-uv`)*(In-uv`) =In²-Inuv`-uv`In+uvuv` so und jetzt kommt mein Problem... Ich habe nämlich mittlerweile de Lösung des Beweises, verstehe sie nicht: =In-uv´-uv´+v´uuv´ daraus kann man dann ketztendlich den Bewies einfach zu ende führen, und es komt v`u=1 heraus q.e.d Allerdings verstehe ich nicht wie aus uvuv` v´uuv´ werden kann. Gibt es da irgendeine Regel oder so zu? Dieser Schritt ist mir ein Rätsel... Bin dankbar für jede Hilfe...
02.01.2014, 16:02	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, du musst ja beide Richtungen der Äquivalenz zeigen. Das was du angefangen hast, ist die Richtung "<=". Du hast jetzt nämlich $\begin{eqnarray} A^2 = I_n - uv^T - uv^T + u\underbrace{v^Tu}_{=1}v^T = I_n -uv^T \end{eqnarray}$ Daraus folgt die Idempotenz. Für die andere Richtung fängst du dann mit der Idempotenz an: $\begin{eqnarray} A^2 = A \end{eqnarray}$ Das ist gemäß Definition dann $\begin{eqnarray} (I_n - uv^T)^2 = I_n-uv^T \end{eqnarray}$ Und daraus kannst du dann $\begin{eqnarray} v^Tu=1 \end{eqnarray}$ folgern.
03.01.2014, 16:17	waack2000	Auf diesen Beitrag antworten »
got it cool ich habe noch einmal eine ganze Weile drüber nachdenken müssen, aber dann habe ichs geschnallt... Danke dir!!
03.01.2014, 17:47	waack2000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: weiteres Problem entstanden Leider hat sich mir im zweiten Teil der Aufgabe ein neues Problem ergeben was ich noch nicht so richtig durchschaue. Vielleicht hat ja noch jemand eine Idee, ich schreibe es einfach mal auf: Sei nun v´u=1. Bestimmen sie den Nullraum von A. Kann A nichtsingulär sein? Wenn ja, so geben sie bitte die Inverse an. Meine idee: Was ich zunächst mal aufgeschrieben habe sind folgende Definitionen: Ein Nullraum der Matrix A ist genau dann gegeben wenn Ax=0. Eine Matrix ist nichtsingulär, wenn die Determinante ungleich 0 ist, d.h A ist genau dann nichsingulär wenn sie eine Inverse hat. Soweit so gut. Den Nullraum auszurechnen wenn man eine Inverse mit Zahlen hat, und diese einsetzen kann wäre ja nicht das Problem. Mein Ansatz hier ist bisher aber lediglich: Ax=0 <=> (In-uv´)*x=0 jetzt könnte man vllt. noch irgendwie mit der tatsache rumspielen das v´u=1 ist, oder das A²=A; nur leider weiß ich nicht so recht inwiefern mir das helfen würde...Leider haben wir im Tutorium zum Arbeitsblatt diesen Aufgebanteil nicht besprochen so das ich hierzu keine Lösung besitze.... Also nochmals: Danke im Vorraus für jede Hilfe.
04.01.2014, 16:48	waack2000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: weiteres Problem entstanden keine mehr?
04.01.2014, 18:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{eqnarray} \left( I - uv^{\top} \right) x = 0 \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} x - uv^{\top} x = 0 \end{eqnarray}$ Nun ist $\begin{eqnarray} v^{\top} x = \lambda \end{eqnarray}$ ein Skalar, so daß man $\begin{eqnarray} x = \lambda u \end{eqnarray}$ erhält. Und was ist, wenn man $\begin{eqnarray} x = \lambda u \end{eqnarray}$ , wo $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein beliebiger Skalar ist, in $\begin{eqnarray} \left( I - uv^{\top} \right) x \end{eqnarray}$ einsetzt?
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05.01.2014, 14:32	waack2000	Auf diesen Beitrag antworten »
mh kommutivität? Hey Leopold, danke für deine Antwort! allerdings bin ich mir nicht ganz sicher ob dein Ansatz nicht einen Fehler beinhaltet, ich lasse mich aber gerne eines besseren belehren: Wenn $\begin{eqnarray} v^{\top} x = \lambda \end{eqnarray}$ ein Skalar ist, dann muss das ganze doch $\begin{eqnarray} x = u \lambda \end{eqnarray}$ lauten, da die Skalarmultiplikation hier nicht kommutativ sein darf, bzw. kommutativität nicht allgemein gilt oder? Also AB ist ungleich BA.... Wenn ich das ganze so ausrechne wie von mir gedacht passiert folgendes: $\begin{eqnarray} x = u \lambda \end{eqnarray}$ <=> Einsetzen in $\begin{eqnarray} \left( I - uv^{\top} \right) x = 0 \end{eqnarray}$ ergibt (I-uv´)ulambda=0 <=> ulambda-uv´ulambda=0 v´u=1; also gilt: ulambda=ulambda entweder ist dieses Ergebnis richtig, und ich sehe den Sinn noch nicht, oder es ist Humbuck, evtl. deshalb weil du die Kommutivität angehend doch recht hattest, oder weil ich irgendwas falsch gemacht habe. Wenn ich das bzgl. der Kommutivität so ausrechne wie von dir geschrieben, also $\begin{eqnarray} x = \lambda u \end{eqnarray}$ verwende bekomme ich lambdau-uv´lambdau=0 heraus was mir auch noch rätselhaft ist... sorry das ich das mit hier so unsauber hingeschmiert habe, aber ich kann latex nicht so recht bedienen, vllt. sollte ich mich damit mal beschäftigen... Spätestens bei meiner Bachelorarbeit werde ich es wohl brauchen^^ Lg
05.01.2014, 16:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischen einer 1×1-Matrix und einem Skalar macht man keinen Unterschied. Für diesen Spezialfall geht die Matrizenmultiplikation in die skalare Multiplikation über. Oder noch genauer: Wenn du eine n-reihige Spalte, also eine n×1-Matrix, von rechts mit der 1×1-Matrix $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ im Sinne der Matrizenmultiplikation multiplizierst, erhältst du dasselbe, wie wenn du die n-reihige Spalte von links mit $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ im Sinne der skalaren Multiplikation multiplizierst. (Einfach an einem Beispiel ausprobieren, das ist sofort klar.) Die Aufgabe ist gelöst. Einerseits bestätigt man durch Einsetzen von $\begin{eqnarray} x = \lambda u \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein beliebiger Skalar ist, in $\begin{eqnarray} \left( I - uv^{\top} \right) x \end{eqnarray}$ sofort, daß der von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ erzeugte eindimensionale Unterraum zum Nullraum von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ gehört. Beachte bei der Rechnung, daß du den Skalar $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ im Produkt an jede beliebige Stelle setzen kannst, so daß du $\begin{eqnarray} v^{\top} u = 1 \end{eqnarray}$ voll einsetzen kannst. Andererseits zeigt mein letzter Beitrag, daß jede Lösung $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} Ax=0 \end{eqnarray}$ von der Gestalt $\begin{eqnarray} x = \lambda u \end{eqnarray}$ sein muß. Also ist der Nullraum von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ gerade der Spann von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ . Und die Determinante von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist damit auch klar.
05.01.2014, 18:38	waack2000	Auf diesen Beitrag antworten »
danke leopold Ein Professor von mir sagte mal: Lernen ist ein diskreter Prozess.... Ich verstehe diese Aufgabe grade aber eher stetig... Langsam aber stetig.. ich denke mit hilfe deiner Aufführungen werde ich zum vollkommenen Verständnis gelangen... Wenn ich lamda u wie von dir beschrieben einsetze dann könnte ich am ende wieder lambda u= lambda u heraus bekommen, was ja letztendlich eine wahre Aussage ist.... Kann man das so sagen? Also eine Wahre Aussage dafür das x=lambda u... Irgendwie so sollte das sein... Hatte vorhin noch mal einen neuen Thread aufgemacht, wo mich diese Frage mit dem Skalar und der kommutivität noch näher interessiert... Aber ich glaube das ganze hier zu posten hat mir sehr geholfen! Danke vielmals!

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