komplexer Eigenwert => konjugiert komplexer Eigenwert

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Cava11 Auf diesen Beitrag antworten »
komplexer Eigenwert => konjugiert komplexer Eigenwert
Hallo Leute,

ich brauche Hilfe bei folgender Folie:
[attach]32524[/attach]

Es ist logisch, dass wenn es einen komplexen Eigenwert gibt, auch der konjugiert komplexe Eigenwert existiert. Aber denn Beweis verstehe ich leider überhaupt nicht.

Die erste Zeile verstehe ich. Es wird einfach die Matrix mal den komplexen Eigenwert gerechnet. Dann einfach ausmultipliziert und der reelle und der imaginäre Teil auseinander geschrieben. Aber das was nach "folgt" kommt, verstehe ich nicht. Warum folgt dies aus dem Oberen? Warum macht man aus dem Au + iAv einfach ein Au - iAv?

PS: Ich glaube im blauen Kasten ist ein kleiner Fehler. mit einem Strich drüber, soll wahrscheinlich ¼ - iv heißen.

Edit: Das mü Zeichen wird komischerweise als ¼ dargestellt. Hoffe jeder weiß, was gemeint ist.

MfG
Cava

Edit(Helferlein): Link entfernt und durch Dateianhang ersetzt.
Bitte keine externen Verweise! Dazu ist der "Dateianhänge"-Button unterhalb des Eingabefeldes da.
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es damit? Sei ein komplexer Eigenwert der Matrix . Dann gilt:



da A reellwertig.
Cava11 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort, aber leider verstehe ich nicht, was du mir damit sagen willst... Was bedeutet denn der Strich über den Buchstaben?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexer Eigenwert => konjugiert komplexer Eigenwert
Zitat:
Original von Cava11
Aber denn Beweis verstehe ich leider überhaupt nicht.

Keine Sorge, das entscheidende Argument ist da auch kaum zu erkennen.
Auch in der Formulierung des Satzes geht ein wenig unter, dass die Aussage nur für reelle Matrizen gilt.

Zitat:
Warum macht man aus dem Au + iAv einfach ein Au - iAv?

Um die Aussage zu beweisen. In der zweitgenannten Gleichung des ersten Block ändert man jeweils das Vorzeichen des Imaginärteils auf beiden Seiten.

Zitat:
PS: Ich glaube im blauen Kasten ist ein kleiner Fehler. mit einem Strich drüber, soll wahrscheinlich ¼ - iv heißen.

Ja. Außerdem sollte dort statt stehen.

Zitat:
Original von Donquixote

Dir wird hoffentlich beim zweiten Lesen auffallen, dass du Eigenwert und Eigenvektor vermischt hast Augenzwinkern

Zitat:
Original von Cava11
Was bedeutet denn der Strich über den Buchstaben?

Der bedeutet komplexe Konjugation.
Cava11 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
In der zweitgenannten Gleichung des ersten Block ändert man jeweils das Vorzeichen des Imaginärteils auf beiden Seiten.


Das verstehe ich nicht. Da ändert sich doch kein Vorzeichen? Das ist doch einfach die erste Gleichung des ersten Blocks ausmultipliziert?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Als Eigenleistung kannst du dir ja überlegen, wie ich das gemeint haben könnte bzw. wie man die zweite Gleichungskette aus der ersten folgert Augenzwinkern
 
 
Cava11 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe schon verstanden wie man auf die zweite Gleichung des ersten Blocks kommt. Den ersten Block habe ich komplett verstanden und kann es auch genau so berechnen wie es auf der Folie steht. Aber ich verstehe nicht wieso aus diesem 1. Block der 2. Block folgt ...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu versuch wie gesagt die Zeile von mir zu verstehen, die du vorhin zitiert hast.
Cava11 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe es einfach nicht unglücklich Das sich im zweiten Block in der 1. Gleichung also die Gleichung nach dem "folgt" ändert sehe ich ja, aber verstehe nicht, was das bringen soll....
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du zwei komplexe Vektoren hast, die gleich sind, und du bei beiden das Vorzeichen des Imaginärteils änderst – sind die beiden resultierenden Vektoren immer noch gleich?
Cava11 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein sind sie nicht, wenn man nämlich das Vorzeichen des Imaginärteils ändert, dann hat man den konjugiert komplexen Vektor.

Edit: Hab erst jetzt die Frage verstanden: Natürlich sind die beiden resultierenden Vektoren gleich ^^
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
Und weißt du jetzt, wieso der zweite Block vom Bild aus dem ersten folgt?
Cava11 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein leider nicht unglücklich Das ist sicher so eine Sache, die total offensichtlich ist, man es aber durch zu komplizierte Gedankengänge nicht versteht.

Vielleicht sollten wir das mal Schritt für Schritt durchgehen, damit klar wird an welcher Stelle ich es nicht verstehe:

Die Behauptung ist ja folgende: Wenn es für eine Matrix einen Eigenvektor gibt, welcher komplex ist, so ist auch der konjugiert komplex dieses Eigenvektors ein Eigenvektor.

Es gilt folgendes:



Diese Gleichung gilt aufjedenfall!

Nun machen wir folgendes:
Wir nehmen einfach und machen das + zum - (konjugiert komplex), dann haben wir und beweisen dann rückwärts, dass gilt. Meine Frage: Aber wieso nehmen wir überhaupt erst an, dass es ein gibt?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cava11
Aber wieso nehmen wir überhaupt erst an, dass es ein gibt?

Natürlich existiert das. Wir nehmen ja nur den Vektor , multiplizieren ihn mit etc.

Wenn nun also

ist, dann folgt ja wohl nach dem, was wir gerade festgestellt haben, dass auch
Cava11 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sitze jetzt schon insgesamt geschätzte 8 Stunden an diesem Beweis. Das ist einfach zu hoch für mich... Vielleicht frage ich nach den Ferien einfach mal den Übungsleiter.

Vielen Dank für deine Hilfe Che Netzer und auch vielen Dank an dich Donquixote.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Es fehlt eigentlich nicht mehr viel...

Du bist ja schon zu

gekommen. Dort hast du auf beiden Seiten einen komplexen Vektor zu stehen, der in Real- und Imaginärteil aufgespalten ist.
Wenn du nun beidseitig das Vorzeichen des Imaginärteils änderst, bleibt die Gleichheit erhalten und du landest bei

Genau das ist ja der Anfang des zweiten Blocks. Und von da aus wird weitergerechnet.
Cava11 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist Au + iAv = Au - iAv? Falls ja, dann würde alles einen Sinn ergeben, aber ich glaube nicht, dass es so ist...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist nicht gleich.
Wenn aber (für reelle ) ist, dann muss auch folgen. Immerhin führt man ja auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Operation durch (Vorzeichen des Imaginärteils ändern).
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