Anzahl der Kugeln in Urne schätzen

02.01.2014, 20:37

ClaraSchumann

Anzahl der Kugeln in Urne schätzen

Hallo,

In einer Urne befinden sich k Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis k beschriftet sind. Es werden n Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Für i=1, ..., n sei X_i die Nummer der i-ten gezogenen Kugel. Bestimmen Sie einen Maximum Likelihood-Schätzer für k.

Die Aufgabe klingt recht simpel, allerdings bin ich mir nicht einmal sicher, ob ich sie richtig verstehe. Der direkte Ansatz über den Maximum-Likelihood-Schätzer funktioniert doch dadurch, dass man die von k abhängige Wahrscheinlichkeit P(X_1=x_1, ..., X_n=x_n) berechnet und durch Ableiten jenes k bestimmt, wofür der obige Ausdruck maximal wird. Dies funktioniert aber in diesem Fall garnicht, denn man erhält P(X_1=x_1, ..., X_n=x_n)=1/k^n, wovon man schwerlich einen (lokalen) Extrempunkt berechnen kann.

Irgendwie scheint mir der Ansatz anschaulich auch nicht sinnvoll, da er nicht die Größe der einzelnen X_i einbezieht. Eine andere Idee wäre es eine neue Zufallsvariable zu definieren wie X=max(X_i). Aber entspricht das dann noch der Aufgabenstellung? Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist schließlich von den Zufallsvariablen abhängig und wenn ich eine neue Zufallsvariable definiere, habe ich keinen Maximum-Likelihood-Schätzer für das ursprüngliche Problem. Ist das legitim?

Bis dann, Clara.

02.01.2014, 21:07

Dopap

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RE: Anzahl der Kugeln in Urne schätzen

Zitat:

Original von ClaraSchumann

In einer Urne befinden sich k Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis k beschriftet sind. Es werden n Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Für i=1, ..., n sei X_i die Nummer der i-ten gezogenen Kugel. Bestimmen Sie einen Maximum Likelihood-Schätzer für k.

Es fehlt ein Ereignis. Aber es kann auch sein, dass man sich alles selber zurechtlegen soll.

Ich seh es so : eine Ziehung vom Umfang n liefert eine "Menge" von Zufallszahlen zwischen 1 und k , wobei Vielfachheiten erlaubt sind.

Schätzen sie k

02.01.2014, 21:15

ClaraSchumann

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RE: Anzahl der Kugeln in Urne schätzen
Hallo Dopap, danke für die Antwort. Was bedeutet das denn für die Lösung der Aufgabe? Muss ich mir für diese wie unten kurz angerissen beispielsweise max(X_i) als neue Zufallsvariable definieren und daraus einen Maximum-Likelihood-Schätzer bestimmen, oder ist das nicht im Sinne der Aufgabe? Clara

02.01.2014, 22:40

Dopap

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ich denke, dass nur MAX(X_i) zur Beurteilung zu wenig ist. Anzahl und Verteilung der X_i dürften auch eine Rolle spielen.

Habe aber keinen Plan wie das gehen könnte. verwirrt

Wenn keine weiteren Antworten kommen, dann wende dich mal an
HAL 9000 oder Huggy

02.01.2014, 23:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von ClaraSchumann
denn man erhält P(X_1=x_1, ..., X_n=x_n)=1/k^n

Das ist nur die halbe Wahrheit: Tatsächlich erhält man (mit Indikatorfunktionen geschrieben)

$\begin{eqnarray*} P(X_1=x_1, ..., X_n=x_n) = \frac{1}{k^n}\cdot 1_{[0,k]}(x_1)\cdot \ldots \cdot 1_{[0,k]}(x_n) = \frac{1}{k^n}\cdot 1_{[0,k]}\left( \max_{i=1,\ldots,n} x_i \right) \end{eqnarray*}$

Und daraus kann man durch Maximierung über $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sehr wohl einen ML-Schätzer gewinnen.

03.01.2014, 13:18

ClaraSchumann

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Ah, vielen Dank Hal9000. Mit deiner Hilfe konnte ich die Aufgabe nun erfolgreich lösen.

Grüße, Clara.

05.01.2014, 11:12

elen567

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hallo hal 9000,

könntest du erklären, wie du auf diese wahrscheinlichkeit kommst und wie die umformung zum maximum funktioniert?

ich verstehe auch nicht ganz, was ich weiter mache, wenn ich diese wahrscheinlichkeit habe. eigentlich muss ich das doch ableiten und gleich 0 setzen.

danke, elen

05.01.2014, 11:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von elen567
könntest du erklären, wie du auf diese wahrscheinlichkeit kommst

Für die diskrete Gleichverteilung ist nun mal

$\begin{eqnarray*} P(X_j = x_j) = \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} 1\leq x_j\leq k \end{eqnarray*}$

und gleich Null für alle anderen $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ , zusammengefasst $\begin{eqnarray*} P(X_j = x_j) = \frac{1}{k}\cdot 1_{(0,k]}(x_j) \end{eqnarray*}$ . Die Likelihoodfunktion ist dann lediglich das Produkt über $\begin{eqnarray*} j=1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von elen567
eigentlich muss ich das doch ableiten und gleich 0 setzen.

Das mag bei differenzierbaren Funktionen gelten, wenn das Extremum im Intervallinneren liegt - das ist hier nicht der Fall:

Die Likelihoodfunktion

$\begin{eqnarray*} P(X_1=x_1, ..., X_n=x_n) = \frac{1}{k^n}\cdot 1_{[0,k]}\left( \max_{i=1,\ldots,n} x_i \right) \end{eqnarray*}$

ist ungleich Null, sofern $\begin{eqnarray*} k\geq k_0:=\max_{i=1,\ldots,n} x_i \end{eqnarray*}$ , d.h. für $\begin{eqnarray*} k<k_0 \end{eqnarray*}$ ist sie gleich Null. Dort vorn ist also kaum das Maximum zu finden. Andererseits ist $\begin{eqnarray*} k\mapsto \frac{1}{k^n} \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend in $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , d.h. das Maximum tritt genau an der Stelle $\begin{eqnarray*} k=k_0 \end{eqnarray*}$ ein.

05.01.2014, 12:02

elen567

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Besten Dank! Jetzt hab ich es auch verstanden

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