Analyse Tensor

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03.01.2014, 12:24	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Analyse Tensor Meine Frage: Hallo Ich habe probleme wie ich bei dieser Aufgabe überhaupt vorgehen soll." Ein zylindrischer Stab ( mit Radius r=1 cm bzgl. (x,y)- Koordinaten und Länge l= 1m in z-Richtung) wird um 10° vedrillt. Das Hooke'sche Gesetz liefert den (ortsabhängigen) Spannungstensor $\begin{eqnarray} S=k\begin{pmatrix} 0 & 0 & -y \\ 0 & 0 & x \\ -y & x & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit der Materialkonstanten k= $\begin{eqnarray} 13,6\frac{N}{mm^2} \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} \alpha (n):=n^tSn \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\in \mathbb R^3 <br /> \end{eqnarray}$ mit Betrag n= 1 wird die Normalspannung bezeichnet. a)Man berechne Hauptspannungen (Eigenwerte) und Hauptspannungsrichtungen (Eigenvektoren) von S für jeden (x,y,z) des Stabes b) Was ist die maximale Normalspannung und in welche Richtung n wirkt sie? Hinweis Diagonalisierung Meine Ideen: Keine Ansätze
03.01.2014, 13:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Aufgabentext enthält zu viele Schreibfehler, so will ich das nie verstehen. Eine kurze Erklärung zu $\begin{eqnarray} \alpha(n) \end{eqnarray}$ wäre zu meinem Verständnis auch nützlich.
03.01.2014, 13:38	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab jetzt die Schreibfehler korrigiert und Alpha soll eigentlich der griechische Buchstabe Sigma sein( habe Sigma nicht in Latex gefunden).
03.01.2014, 14:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon besser. $\begin{eqnarray} \sigma(n) \end{eqnarray}$ ist definiert und ist die Normalspannung, deren maximaler Wert in Teil b) berechnet werden soll. Jetzt kannst Du mit dem leichten Teil a) beginnen, das ist die Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ , das steht ja schon als Hinweis im Text. "Diagonalisierung" statt "Diagonalieserung"
03.01.2014, 14:36	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevor ich anfange. Ist diese Matrixdarstellung richtig? $\begin{eqnarray} S= 13,6\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich setze 13,6 für das k ein und jeweils 1 für x und y?
03.01.2014, 16:58	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
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03.01.2014, 18:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist nicht richtig. In der Physik kannst du niemals eine Größe k durch eine Zahl a ersetzen. Doppelt faslch ist das Ersetzen der Ortsvariablen x und y durch 1 , denn hier lässt du auch die Einheit [cm] weg, und noch viel schlimmer ist, dass du dann nur noch die Mantelfläche des Zylinders betrachtest anstelle des zylindrischen Stabes. Der Stab ist doch nicht hohl, das ist Materie, nach Einstein so gut wie Energie, das sei dem Physiker heilig, davon kann man niemals abstrahieren, sonst bleibt doch nichts übrig, das widerspricht dem Energieerhaltungssatz - was würde Emmy Noether dazu sagen ?.
03.01.2014, 18:37	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ^^ ich weiss wie man Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt. Auch die Diagonalisierung ist kein Problem. Ich kann nichts mit dem Radius und der Länge in z-Richtung =1m anfangen .Ich weiss gar nicht was ich wann einsetzen muss. Kannst du mir nach und nach das erklären ? Also ich betrachte jetzt erstmal nur $\begin{eqnarray} S=k\begin{pmatrix} 0 & 0 & -y \\ 0 & 0 & x \\ -y & x & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und rechne die Eigenwerte und Eigenvektoren aus.
03.01.2014, 19:11	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kriege da nichts raus
04.01.2014, 10:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso nicht ? Es dauert ungefähr eine Minute, die Nullstellen des charakteristischen Polynoms $\begin{eqnarray} det(S-\lambda E) \end{eqnarray}$ zu berechnen (einschließlich der Berechnung der Determinante).
04.01.2014, 10:23	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss ich denn keine Zahlen einsetzen? betrachte ich nur die Matrix und multipliziere k mit rein? Tut mir leid für dieses Unwissen.
04.01.2014, 10:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, Zahlen werden nicht eingesetzt. Ja, ziehe k mit rein, das spart Nachdenken und damit Zeit, sonst dauert die Berechnung 70 Sekunden.
04.01.2014, 10:36	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -\lambda ^3+\lambda x^2k^2+\lambda y^2k^2=0 \end{eqnarray}$ Wie bekomme ich aus dieser Gleichung die Nullstellen heraus ?
04.01.2014, 10:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ausklammern
04.01.2014, 10:46	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lambda (-\lambda ^2+x^2k^2+k^2+y^2)=0 \end{eqnarray}$ Und somit die erste Nullstelle= $\begin{eqnarray} \lambda _{1}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\lambda ^2+x^2k^2+k^2y^2=0 \end{eqnarray}$ Ok zwei fehlen noch. Ich wüsste nicht wie ich nun die beiden anderen finden sollte.
04.01.2014, 10:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir befinden uns jetzt aber wirklich nicht mehr auf Hochschulniveau. Aus $\begin{eqnarray} k^2y^2 \end{eqnarray}$ hast Du $\begin{eqnarray} k^2+y^2 \end{eqnarray}$ gemacht. Letzte Antwort zu diesem Thema: $\begin{eqnarray} \lambda^2 \end{eqnarray}$ addieren.
04.01.2014, 11:15	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. $\begin{eqnarray} \lambda _{2}=k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda _{3}=x+y \end{eqnarray}$
04.01.2014, 13:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nein, nein ... zu schnell, zu leicht, zu verführerisch ... und völlig falsch.
04.01.2014, 15:40	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann versteh ich das nicht
04.01.2014, 18:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, klar verstehst Du das, das ist eine extra einfache quadratische Gleichung. Das lernt man in der Schule, dass und wie man auf beiden Seiten die Wurzel zieht: $\begin{eqnarray} \lambda^2=k^2(x^2+y^2)\Rightarrow \lambda_{2,3}=\pm k \sqrt {x^2+y^2} \end{eqnarray}$ Du hast schon mehrmals vorgeschlagen, etwas einzusetzen; zur Probe kann man immer Beispiele einsetzen. Bei deinem Vorschlag würde z.B. gelten $\begin{eqnarray} 4^2=16=2\cdot 8=2\cdot(3+5)\Rightarrow 4=\sqrt 2 \vee 4=\sqrt 3 + \sqrt 5 \end{eqnarray}$ ... ist noch mehr Unsinn in einer Zeile möglich ?

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