quadratische Gleichungen |
09.08.2004, 20:11 | Gustav | Auf diesen Beitrag antworten » |
quadratische Gleichungen Man beweise, dass für die Gleichung keine rationalen Lösungen existieren, falls a, b, c ungerade ganze Zahlen sind. |
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09.08.2004, 22:51 | Bruce | Auf diesen Beitrag antworten » |
O.K. Gustav, das ist eine nette kleine Übung zum Aufwärmen. Brauchst Du Hilfe bei der Lösung, oder willst Du die Boardteilnehmer testen? |
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09.08.2004, 23:11 | Gustav | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich will selbstverständlich die Boardteilnehmer testen. Wenn du einen Beweis hast - PM an mich |
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09.08.2004, 23:15 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wäre nett, wenn du das gleich dazu schreiben würdest, dass du keine Hilfe benötigst Gruß vom Ben |
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10.08.2004, 08:21 | Bruce | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mein Lösungsvorschlag, für alle zum mitlesen. Annahme: Für ein Tripel a,b,c ungerader Zahlen existiert eine rationale Lösung x. Auflösen der quadratischen Gleichung nach x liefert: Die Quadratwurzel einer natürlichen Zahlen ist entweder eine ganze Zahl oder eine irrationale Zahl. Da x nach Voraussetzung rational ist, muß eine natürliche Zahl d exisitieren, so daß gilt: Das Produkt (b-d)(b+d) muß demnach eine gerade Zahl sein. Da b ungerade ist, geht das nur dann, wenn auch d eine ungerade Zahl ist. Also kann b=2m+1 und d=2n+1 mit natürlichen Zahlen m und n gesetzt werden. Für m und n muß nun gelten: m-n und m+n sind beide stets gerade oder ungerade, d.h. das Produkt (m-n)(m+n+1) ist auf jeden Fall eine gerade Zahl. Die letzte Gleichung steht also im Widerspruch zu der Voraussetzung, das a und c und damit auch ihr Produkt ac ungerade sind. |
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10.08.2004, 17:40 | Gustav | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mein Beweis ist etwas kürzer: Wäre eine Lösung mit und ggT(u,v) = 1, so wäre au² + buv + cv² = 0. Wegen ggT(u,v) = 1 können u und v nicht beide gerade sein. Aus au² + buv + cv² = u² + uv + v² = 0 mod 2 ergibt sich ein Widerspruch. |
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