Integralrechnung Bottich |
| 05.01.2014, 02:29 | HappyJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Integralrechnung Bottich Hallo, ich komme leider bei folgendem Beispiel nicht weiter: Ein Bottich von der Form einer Parabolschicht ht den oberen inneren Durchmesser 30 dm, den unteren inneren Durchmesser 20 dm und die Höhe 10 dm. Vom vollen Bottich wird die halbe Flüssigkeitsmenge entnommen. Wie hoch steht der Rest im Bottich? Meine Ideen: Ich habe folgendes: (pi * 10) / 3 * (10² + 10 * 15 + 15²) = 4974,189 cm³ |
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| 05.01.2014, 07:44 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit dem Stichwort Parabolschicht gibt es keinen einzigen sinnvollen Treffer und ich kann mir darunter auch nicht wirklich etwas vorstellen. Ich vermute eher, dass die Modellierung über eine Parabelfunktion gemacht werden sollte, dann allerdings fehlt eine Angabe. Das was du formuliert hast sieht allerdings eher nach Kegelstumpf aus, was eigentlich garnicht zur Aufgabe passt. Zum helfen braucht es unbedingt noch weitere Angaben, am besten die vollständige Aufgabe. |
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| 05.01.2014, 10:05 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn es so gemeint ist, fehlt meiner Meinung nach nix 
eventuell die Angabe, dass das Häferl am Anfang voll war
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| 05.01.2014, 10:11 | Bürgi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Integralrechnung Bottich Guten Morgen + ein gutes neues Jahr! Ich stelle nur kurz meine Ideen vor und bin dann sofort wieder aus diesem Thread verschwunden: Ich nehme an - so wie Egal auch schon - dass es sich bei dem Fass um eine Schicht eines Rotationsparaboloiden handelt. Die Querschnittfläche dieses Paraboloiden entlang der Drehachse ist eine Parabel. Ich setze fest, dass die Punkte P(10 / 0) und Q(15 / 10) auf der Parabel liegen. Mit den Koordinaten der Punkte können a und c bestimmt werden. Das Volumen des Fasses ist dann: (Zur Kontrolle: Ich habe mit diesem Ansatz ein Volumen von ermittelt) Den weiteren Lösungsweg überlasse ich Dir. |
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| 05.01.2014, 10:13 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es fehlt keine Angabe. Wir können von der Parabel y² = 2px ausgehen, welche um die x-Achse rotiert. Dann gibt es auf der Parabel 2 Punkte, (b; 10) und ((b+10); 15), deren Koordinaten in die Parabelgleichung eingesetzt 2 Gleichungen in b und p und damit die Werte für b und p ergeben (b = Radius des Basiskreises). [Ein Teilresultat ist b = 8] @HappyJack Schreibe bitte, wie du auf dein Ergebnis (wofür?) kommst. Allerdings stimmt dieses ohnehin nicht. mY+ |
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| 05.01.2014, 10:30 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich will mich jetzt ja wirklich nicht mit euch streiten. Aber die von mir bemängelte fehlende Angabe dadurch zu "vermuten" dass die Parabel wohl durch den Ursprung geht und dann zu sagen es fehlt nichts ist schon ein bisschen frech 
Klar kann das so sein, aber dann muss das ja in der Aufgabe schon irgendwie drin sein. |
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| 05.01.2014, 10:35 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Egal Na ja, "frech" ist schon ein wenig übertrieben, finde ich. Auch mit Smiley. Wir haben doch nur einen möglichen Lösungsweg aufgezeigt und im Übrigen geht die Parabel im Ansatz von Bürgi auch gar nicht durch den Ursprung. Im Schulbereich sind beide Ansätze der übliche Lösungsweg. Sicher, wenn man es genau nimmt, fehlt der Hinweis, dass es sich um eine Parabel der Form y² = 2px oder x² = 2py handelt, auch die Gleichung von Bürgi kann verwendet werden. Das soll offensichtlich im Ermessen des Schülers liegen. mY+ |
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| 05.01.2014, 10:36 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich sehe das genau so. Aber vielleicht war die Aufgabe noch durch ein Bildchen garniert, das uns der Fragesteller vorenthalten hat. Aber das ist natürlich auch nur eine hinterhältige Vermutung ... |
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| 05.01.2014, 10:50 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
was daran FRECH sein soll, wenn man eine eigene Ansicht hat, entzieht sich wiederum meinem Verständnis. wieso sollte das abwegiger sein, als einen Kegelstumpf zu vermuten 
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| 05.01.2014, 11:01 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eigentlich wollte ich damit jetzt kein Fass aufmachen, aber ich habe weder behauptet dass eine eigene Ansicht zu haben frech ist, noch habe ich vermutet der Aufgabensteller hätte einen Kegelstumpf gemeint. Behauptet habe ich nur: Das was Happyjack als Lösung im 1. Beitrag hat passt am ehesten zu einem Kegelstumpf, bzw. der Modellierung mit einer linearen Funktion. Frech ist es zu sagen die Aufgabe sei nicht unvollständig wie sie gestellt ist, wenn die unvollständigen Angaben schon zu zwei unterschiedlichen Lösungsansätzen geführt haben. Selbstverständlich kann man einen Ansatz formulieren der zur Aufgabenstellung passen könnte, damit da aber eine eindeutige Lösung bei rauskommt muss man eben zusätzliche Annahmen machen und erst dann ist die Aufgabe auch vollständig. |
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| 05.01.2014, 11:24 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man könnte zum Beispiel auch vermuten, daß die Parabel statt um ihre Symmetrieachse um eine Orthogonale der Symmetrieachse rotiert, also so etwas wie mit Parametern bei Rotation um die -Achse. Das kann man der Aufgabenstellung nicht entnehmen. Es kann natürlich auch sein, daß die Aufgabe als offene Aufgabe gestellt ist. Damit läuft das Ganze auf die Modellierung einer konkreten Situation hinaus. Dann sind natürlich verschiedene Modelle denkbar, die man dann aber tunlichst diskutieren und miteinander vergleichen sollte. |
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| 05.01.2014, 14:02 | HappyJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Salve, leider stehen mir keine weiteren Angaben zur Verfügung. Als Lösung wird folgendes angegeben: h = ca. 5,9 dm Danke schon mal für die Tipps. Mfg, HappyJack |
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| 05.01.2014, 16:29 | HappyJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Edit (mY+): Unnötiger Vollquote wurde entfernt. Bitte davon abzusehen! Hallo, ich habe folgendermaßen gerechnet: P(15|10), 10=a*15², 2/45=a, y=2/45*x², 45/2*y=x²; V: pi*45/2*10²/2 = 1125*pi Was mach ich falsch? |
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| 05.01.2014, 16:39 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast das c nicht beachtet und nur einen der Punkte verwendet. Damit hast du einen anderen Ansatz als Bürgi und damit logischerweise zunächst mal nicht das gleiche Ergebnis. |
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| 05.01.2014, 16:49 | HappyJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie kann ich es mit c ausrechnen? Bin gerade vollkommen confused. |
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| 05.01.2014, 16:53 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bürgi hat ja einen Vorschlag gemacht mit 2 Punkten und einer Funktion vom Typ . Durch einsetzen beider Punkte in die Funktionsgleichung erhälst du ein lineares Gleichungssystem, dass du dann lösen musst. |
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| 05.01.2014, 16:57 | HappyJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
0=a*10²+c 10=a*15²+c |
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| 05.01.2014, 17:45 | HappyJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das müsste dann y=0,08x²-8 sein, oder? Weiter hab ich dann: 2/25*x²-8=y x²=12,5 *(y+8) (y²/2+8y)*12,5*pi (10²/2+8*10)= 1625*pi |
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| 05.01.2014, 17:57 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das würde zumindest zu diesem Ansatz passen. |
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| 05.01.2014, 17:58 | HappyJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie gehts jetzt weiter? |
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| 05.01.2014, 18:11 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich dachte wir würden hier das Volumen eines Rotationskörpers bestimmen? Deinen Lösungsansatz verstehe ich auf jeden Fall nicht. |
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| 05.01.2014, 18:18 | HappyJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir suchen die Höhe von der Hälfte des Volumen. zuerst bring ich alles auf die eine Seite damit x² alleine steht, dann integrier ich die 10 in die Rechnung um das Volumen aus zu rechnen. |
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| 05.01.2014, 18:21 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1) Stelle eine Formel zur Berechnung des Volumens in Abhängigkeit von der Füllhöhe auf. 2) Berechne das Gesamtvolumen des Körpers. 3) Berechne bei welcher Höhe der Körper halb gefüllt ist. |
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| 05.01.2014, 20:01 | HappyJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry aber das ist für mich keine Hilfe. |
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| 05.01.2014, 20:07 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ihr müsst doch irgendwas zu dem Thema gemacht haben? Nach der Überschrift zu dem Thema habe ich auf Rotationskörper mit Hilfe der Integralrechnung getippt. In den Aufzeichnungen zu dem Thema müsste doch zumindest mal stehen wie man grundsätzlich vorgeht. |
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| 05.01.2014, 20:13 | HappyJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir haben zwar einiges mit Kegelstumpfen und diversen leichteren Integralübungen gemacht, aber mit einer Schicht eines Rotationsparaboloiden leider nicht. |
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| 05.01.2014, 21:18 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um das Ganze jetzt - ohne die Grundsatzdiskussion weiterzuführen - zu einem Ende zu bringen, schalte ich mich wieder ein: Am leichtesten gelingt der Ansatz über eine Parabel in Hauptlage, wie in meinem Erstpost bereits vorgestellt*. Denn dann ist auch die Integration bzw. weitere Rechnung relativ einfach (es wird meiner Erfahrung nach auch in der Schule so vorgegangen). Mittels der angegebenen Maße sind somit die zwei Punkte (b; 10) und (b+10; 15) auf der Parabel y² = 2px festgelegt. Die Werte b (= 8 habe ich schon verraten, das ist natürlich zu ermitteln) und p können berechnet werden und damit ist auch das Volumen des Paraboloides festgelegt, übrigens kommt man damit ebenfalls auf das von Bürgi angegebene Resultat. Die Füllhöhe des halb gefüllten Bechers wird nun wiederum mit der Rotationsformel berechnet, mit dem Unterschied, dass die obere Grenze nicht bekannt ist, dafür aber das (halbe) Volumen. Du setzt also das halbe Volumen gleich dem Rotationsintegral zwischen den Grenzen 8 und der zu berechnenden oberen Grenze, berechnest aus der Gleichung dann diese und fertig. Gestalte dahingehend mal deine Rechnung, bei etwaigen Schwierigkeiten werden wir dir sicher weiterhelfen. (*) Anmerkung: Auch mit der von Bürgi angesetzten Parabel kannst du sinngemäß ebenso leicht rechnen. Es gibt damit zwar zwei verschiedene Ansätze, welche jedoch das gleiche Resultat liefern. mY+ |
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