Orthogonalen Vektor finden

07.01.2014, 21:51

matthias87

Orthogonalen Vektor finden

Hi Leute,

ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe:

Aufgabe:
Finden Sie einen zu den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ orthogonalen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ und geben Sie den von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ eingeschlossenen Winkel an!

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \wedge \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann ich den orthogonalen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ herausfinden, indem ich das Kreuzprodukt anwende a x b?

07.01.2014, 21:56

Stefan03

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RE: Orthogonalen Vektor finden

Zitat:

Original von matthias87

Kann ich den orthogonalen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ herausfinden, indem ich das Kreuzprodukt anwende a x b?

Ja, das ist eine Möglichkeit.

Und wie kannst du den Winkel berechnen?

07.01.2014, 22:08

matthias87

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Das weiß ich leider nicht. Kannst du mir da vielleicht weiterhelfen? Ich bilde währenddessen das Kreuzprodukt.

07.01.2014, 22:20

matthias87

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So habe den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ rausgefunden bzw. ausgerechnet.

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - (-1) \\ 1-1 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?

07.01.2014, 22:45

matthias87

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Ist noch jemand da, der mir vllt. weiterhilft Gott

08.01.2014, 08:34

Stefan03

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Hi,

der Vektor c stimmt.

Und hier: Winkel zwischen 2 Vektoren

08.01.2014, 19:00

matthias87

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Ok, Danke. Hab noch eine kurze Frage. In der Aufgabenstellung steht ja "... geben Sie den von a und b eingeschlossenen Winkel an!".

Ist damit der Winkel $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ gemeint? Also der Winkel zwischen a und b oder der Winkel, der "rundherum" verläuft?

08.01.2014, 19:30

matthias87

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Ok, hat sich schon geklärt. In der Aufgabe steht ja schon von a und b eingeschlossen. Dann ist das der Winkel, der dazwischen liegt.

Den Winkel habe ich wie folgt berechnet:
$\begin{eqnarray*} cos \lambda = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{1\cdot(-1)+0\cdot1+(-1)\cdot1}{\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2} } = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = arccos\left(\frac{-2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} } \right) \approx 144,74° \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?
Bin ich damit jetzt fertig?

08.01.2014, 21:47

matthias87

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Kann einer bitte kurz schauen, ob alles richtig ist, damit ich das abhaken kann. Vielen Dank. Freude

08.01.2014, 22:36

Dopap

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Es ist alles in Ordnung smile

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