Untergruppen finden

09.01.2014, 21:36

Benni91

Untergruppen finden

Meine Frage:
Hallo, ich soll folgende Aufgabe lösen:

Finde alle Untergruppen von $\begin{eqnarray*} <(1 2 3 4),(2 4)>~\leq S_4 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zunächst einmal habe ich alle Elemente der Gruppe ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} <(1 2 3 4),(2 4)> = \left\{id,(1 2 3 4),(1 2 3 4)^2,(1 2 3 4)^3,(2 4),(1 2 3 4)*(2 4),(1 2 3 4)^2 * (2 4), (1 2 3 4)^3 * (2 4)\right\} \\= \left\{id,(1 2 3 4),(1 3)*(2 4),(1 4 3 2),(2 4),(1 2)*(3 4),(1 3),(1 4)*(2 3)\right\} \end{eqnarray*}$

So... Wenn ich jetzt davon eine Untergruppe U betrachte, so weiß ich wegen dem Satz von Lagrange:

$\begin{eqnarray*} | U | \in \left\{ 1,2,4,8\right\} \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} | U |=1 \end{eqnarray*}$ , so besteht U nur aus dem neutralen Element.
Ist $\begin{eqnarray*} | U |=8, \end{eqnarray*}$ so ist U die ganze Gruppe.
Ist $\begin{eqnarray*} | U |=2, \end{eqnarray*}$ so enthält U neben dem neutralen Element noch ein weiteres, das selbstinvers sein muss. Es kommen also $\begin{eqnarray*} (13)*(24),(24),(12)*(34),(13),(14)*(23) \end{eqnarray*}$ in Frage

Mein Problem ist nun, was mache ich für $\begin{eqnarray*} | U | = 4 \end{eqnarray*}$ ?

Eine Untergruppe zu finden ist einfach, nämlich $\begin{eqnarray*} U = <(1234)> \end{eqnarray*}$

Da 4 aber keine Primzahl ist, muss U nicht zwangsweise zyklisch sein... wie finde ich also die anderen Untergruppen? Ich könnte natürlich auch einfach jeweils 3 verschiedene Elemente der obigen Gruppe nehmen und überprüfen, ob U mit denen und dem Neutralen zu einer Gruppe wird... aber das wäre doch sehr umständlich und bei sehr großen Gruppen unmöglich umzusetzen.

Allgemeiner würde ich gerne wissen, wie ich generell Untergruppen finde, deren Ordnung keine Primzahl ist.

11.01.2014, 17:40

Mulder

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RE: Untergruppen finden
Alle einfach ausprobieren ist sicher kein effizienter Weg. Aber ein elegantes Kochrezept, das man immer anwenden kann, wäre mir wiederum auch nicht bekannt.

Man kann sich ja mal zunächst Gedanken über die Struktur so einer (Unter-)Gruppe der Ordnung 4 machen. Es gibt ja bis auf Isomorphie nur zwei Gruppen der Ordnung 4. Einmal die zyklische und einmal diejenige, die zur kleinschen Vierergruppe isomorph ist.

Eine zyklische der Ordnung 4 hast du ja bisher schon hingeschrieben. Gibt's noch mehr?

In der kleinschen Vierergruppe sind alle Elemente selbstinvers. Das heißt, dafür scheiden die Elemente der Ordnung 4 schon mal aus (würde ja sonst auch schon von der Ordnung her gar nicht mehr funktionieren können). Verbleiben für die nichtzyklischen Untergruppen noch fünf Elemente, die dafür in Frage kommen (und das neutrale Element natürlich). Mit denen würde ich jetzt in der Tat einfach mal ein bisschen rumprobieren. Nimm dir zwei von denen und schau dir die Komposition an: Die muss auch wieder Ordnung 2 haben.

12.01.2014, 10:41

Benni91

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RE: Untergruppen finden
Hallo, erstmal danke für die Hilfe.

Also es gibt in der Gruppe 2 Elemente der Ordnung 4, nämlich (1 2 3 4) und (1 4 3 2). Das heißt das Erzeugnis von einem dieser Elemente ergibt eine zyklische Gruppe der Ordnung 4. Da die beiden Elemente aber invers zum jeweils anderen sind, sind die erzeugte Gruppen beider Elemente gleich. Also ist <(1 2 3 4)> tatsächlich die einzige zyklische Untergruppe der Ordnung 4.

Nun verstehe ich aber nicht, wieso es nur die zyklische Untergruppe und die, bei denen alle Elemente selbstinvers sind, geben soll... Kann es nicht auch eine Gruppe geben, bei dem nur ein Element selbstinvers ist und die beiden restlichen Elemente Invers zum jeweils anderen sind? Ist es dabei garantiert, dass es Probleme mit der Abgeschlossenheit gibt?

12.01.2014, 14:03

Mulder

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RE: Untergruppen finden
Denk dran, dass die Ordnung eines Gruppenelementes stets ein Teiler der Gruppenordnung sein muss. Bei einer Gruppe der Ordnung 4 muss also jedes Element entweder Ordnung 1, 2 oder 4 haben.

Das neutrale Element hat Ordnung 1. Die anderen Elemente aber natürlich nicht. Bleibt nur 2 oder 4 übrig. 4 kann nicht sein. Denn wenn ein Element die Ordnung 4 hat, erzeugt es ja bereits eine zyklische Gruppe der Ordnung 4. Das hatten wir schon.

Bleibt nur Ordnung 2 für alle Elemente übrig. Also: Selbstinvers. Und das Inverse eines Elementes ist ja immer eindeutig bestimmt in einer Gruppe. Damit ist sowas hier ...

Zitat:

[...] und die beiden restlichen Elemente Invers zum jeweils anderen sind

schon ausgeschlossen.

12.01.2014, 16:49

Benni91

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RE: Untergruppen finden

Zitat:

Denk dran, dass die Ordnung eines Gruppenelementes stets ein Teiler der Gruppenordnung sein muss

Daran hatte ich wirklich nicht gedacht Hammer

Hab mich wohl zu sehr darauf fokussiert, dass die Ordnung einer Untergruppe die Ordnung der Gruppe teilt.

Aber da ja ein einzelnes Element einer Gruppe eine Untergruppe erzeugt, gilt das natürlich auch für die einzelnen Elemente.

Damit werd ich die Aufgabe lösen können.... danke für die Hilfe smile

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