[Hilfe] Verzweifle an Vektoraufgaben

10.08.2004, 10:39

svenb

[Hilfe] Verzweifle an Vektoraufgaben

Hallo zusammen,

ich brauche Hilfe bei folgenden Aufgaben:
http://img.photobucket.com/albums/v92/refugee7/aufgabe.jpg

Und zwar wäre es super, wenn mir jmd. anhand dieses Beispiels oder anhand eines anderen (hauptsache mit Zahlen) bei Aufgabe 1 zu b, c und d einen Lösungsvorschlag geben könnte. Die Formeln kenne ich, nur kann ich die nicht wirklich umsetzen, da ich nicht weiß welche konkreten Zahlen ich wo und für was einsetzen muss.
bei b) z.B. weiß ich nicht was mit "alle Ebenen" gemeint ist und wie ich d=2 verarbeite bzw. mit welchen Vektoren.

Bei Aufgabe 2 müsste mir jmd. erklären wie ich das Lambda in eine Zahl umwandle, deshalb bitte ich um eine entspr. Aufstellung mit Zahlen, egal welche.

Und bei Aufgabe 3 verstehe ich nicht was ich mit dem a machen soll.

Bin echt am verzweifeln, auch wenn die Aufgaben einfach sind, fehlt mir der Ansatz um das Ganze umzusetzten.

Also bitte bitte helft mir Hilfe

Ich danke schonmal!!!

10.08.2004, 10:56

Leopold

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Zu 1b)

Nimm einen beliebigen Punkt P(u|v|w) und setze seine Koordinaten in die HNF von E ein. Wenn dann ±2 (statt 0) herauskommt, hat P von E den Abstand 2. (Hinterher kannst du u,v,w wieder in x,y,z umbenennen.) So bekommst du zwei Ebenengleichungen.

Zu 1c)

Bestimme zwei beliebige Punkte P,Q der Ebene E (zwei Koordinaten, z.B. x,y vorgeben, die dritte, im Beispiel z, berechnen). Nimm den Ortsvektor des einen Punktes als Stützvektor und die Differenz der Ortsvektoren von P und Q als Richtungsvektor der Geraden.

Zu 1d)

Der Normalenvektor der gesuchten Ebene muß sowohl senkrecht auf dem Normalenvektor von E als auch auf dem Richtungsvektor von g stehen (mache dir eine Skizze). Daraus kannst du den Normalenvektor dieser Ebene berechnen (z.B. mit dem Kreuzprodukt, falls dir dieses bekannt ist, oder über zwei Gleichungen mit Hilfe des Skalarprodukts). Und als Stützvektor kannst du irgendeinen Punkt von g nehmen.

10.08.2004, 11:36

svenb

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Danke für deine Antwort Leopold. Allerdings verwirren mich die "allgemeinen Ausdrücke" sehr.

1b) Ist mit HNF die Gleichung gemeint? Wenn ja, nehm ich mir dann einfach x,y,z Werte um auf 2 zu kommen? Allerdings steht in der Ausgangsgleichung =4 was mich mit deiner Aussage =0 verwirrt.

1c) versteh ich auch nicht. Wie muss ich denn z berechnen?
hat das auch mit der Ausgangsgleichung zu tun? So dass ich z = -2x -y + 4 schreibe?

1d) wie errechne ich denn den Normalenvektor der schon gegebenen Ebene, sprich welche Punkte brauch ich dafür? n ergibt sich ja aus den Richtungsvektoren a und b: a x b Aber wie bilde ich diese?

Ich wäre sehr dankbar wenn mir jmd. das ganze anhand von Zahlen aufstellen würde oder mir einen Link geben kann wo ich solche Beispiele mit Lösungen finden kann.

Danke!!!

10.08.2004, 12:18

Leopold

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1b) HNF = Hessesche Normal(en)form
Ohne deren Kenntnis dürfte diese Aufgabe nicht leicht zu lösen sein.

1c) Gib dir einfach x,y vor! Zum Beispiel: x=10,8 und y=2004 oder x=4445 und y=-2345671 (Juxbeispiele!)

1d) Der Normalenvektor setzt sich aus den Koeffizienten von x,y,z (in dieser Reihenfolge) zusammen: E: 2x+y+z-4=0; also ist
$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ein Normalenvektor von E

10.08.2004, 12:59

svenb

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Hessesche Normal(en)form hab ich nicht gelernt, das geht doch auch mit Hilfe des Kreuzproduktes, oder?
Wobei ich dann immer noch nicht wüsste, mit welchen Punkten ich auf d = 2 komme traurig

10.08.2004, 13:44

Mazze

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2a)

Vektoren a,b,c heissen Komplanar wenn Sie in einer Ebene liegen.
Ein Weg wäre, eine Vektor n_0 zu bestimmen der Senkrecht zu b,c steht. (Kreuzprodukt) Dann stellst Du folgendes Gleichungssystem auf

Sei V der Senkrechte vektor zu b,c

a*v = 0

Also das Skalarprodukt von a und v bilden. Dabei wird lambda die einzige unbekannte sein und Du wirst umstellen können.

2b) kennst Du schon Determinanten (darüber geht es enorm einfach)?

Vektoren eines R^n sind dann linear unabhängig wenn die Determinante der zugehörigen nxn Matrix != 0 ist.Eine Basis ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren.

Berechne

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ \lambda & 4 & 5 \\ 4 & 11 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Für alle lambda für die die Determinante != 0 ist sind die Vektoren linear unabhängig. Übrigens ist das auch ein Lösungsweg für 2a), denn für alle lambda für die die Determinante = 0 ist, folgt lineare abhängigkeit. 3 Vektoren sind dann linear abhängig wenn sie in einer Ebene sind (wenn man Vektoren aus dem R³ betrachtet) was auch sehr schnell zum Ziel führt. Eine Basis des R³ wären 3 linear unabhängige Vektoren, die hast Du ja gerade dann gezeigt.

2c) sollte kein Problem sein, Kreuzprodukt oder aber Gleichungssystem.

2d) Stichwort Spatprodukt

V = (b x c)*d, wobei b,c hier grundseite wäre.

3)

Ist die Determinante von

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

!= 0 existiert eine eindeutige Lösung. Ist sie gleich 0 kann man nicht viel sagen. Deswegen führe einfach Gauß aus. Ausser der Begriff des Rangs ist Dir geläufig

10.08.2004, 14:25

svenb

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@ Mazze

zu 2a)
damit ich das richtig verstehe: ich nehme das Kreuzprodukt von b und c und erhalten einen neuen (senkrechten) Vektor n, richtig? n = (-51; -31; 10)

und dann:

(1; Lambda; 4) * n >> welches bei mir zu der Gleichung führt:

-51 -31L +10 = 0

-31L = +41

L = - 1,322

sieht ein bisschen komisch aus. Wie prüfe ich das denn jetzt nach?

10.08.2004, 15:20

Mazze

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Du kannstes überprüfen in dem Du die lineare Abhängigkeit zeigst. Und zwar stellst Du einfach einen der Vektoren als Summe der anderen Vektoren mit geeigneten Faktoren dar.

Die Gleichung lautet

(-51; -31; 10)

1* -51 + lambda*(-31) + 4*10 = 0

Skalarprodukt halt

10.08.2004, 15:31

svenb

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zu 3)

was kann man denn hier mit Gauß machen?

Der Begriff des Ranges ist mir geläufig. Nur weiß ich nicht wie ich das a auflösen muss. Ob mit Unterdeterminantem Zeilenumformung zur Trapezform usw.

Ich hab hier leider nur Übungen mit Zahlen. Da scheint es mir recht simpel.

Hoffe auf weitere Hilfe

10.08.2004, 15:41

Mazze

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Sei A die Matrix die das Gleichungssystem beschreibt und b der Ergebnisvektor

Wenn

Rang(A) = Rang(A,b) < 3 folgt ein mindestens eindimensionaler Lösungsraum => unendlich Lösungen

Rang(A) = Rang(A,b) = 3 folgt eindeutige Lösbarkeit

Rang(A) != Rang(A,b) folgt nicht lösbarkeit

Bringe die Matrix auf Zeilenstufenform, folgendes Beispiel zeigt dir dann wie man die Lösbarkeit dann abließt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & a² - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 + a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für a = -1 folgt unendlich viele lösungen da

0*z = 0 erfüllt ist für alle Z

für a = 1 folgt keine Lösung da

0*z = 2 nie erfüllt ist für kein z aus R

für alle anderen a gilt das es eine eindeutige Lösung gibt nämlich

$\begin{eqnarray*} z = \frac{1+a}{a² - 1} \end{eqnarray*}$

10.08.2004, 17:10

svenb

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Hmmm also das mit der Zeilenstufenform kappier ich nicht.
Die Ausgangsgleichung ist doch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dazu noch (1;0;1)

Ziel ist es doch diese in eine Trapezform zu bringen so wie du unten angegeben hast?

In meinem Buch find ich nichts von Zeilenstufenform, deshalb kann ich nicht erkennen wie ich obige Matrix in die richtige Form überführen kann.

Wenn man z.B Z2 - Z1 macht, bekommt man zwar eine Null, aber weiter gehts dann auch nicht wirklich, zumindest für mich traurig

Wärst du so nett und könntest mir die Schritt für Schritt aufstellen? Das Ablesen des Ranges usw. überblick ich ja, nur die Umformung will sich mir nicht erschließen.

Danke für die ganze Mühe!!!

10.08.2004, 17:46

Mazze

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Wenn ihr die Zeilenstufenform Trapezform genannt habt bleibt es doch immernoch dasselbe oder? Augenzwinkern

Addieren eins reellen Vielfachen einer Zeile zu einer anderen zeile ändert die Lösungsmenge nicht. Vertauschen von Zeilen ändert die Lösungsmenge nicht.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & a & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & a & 1 & 0 \\ a & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich nummeriere jetzt Zeile 1 = I Zeile 2 = II Zeile 3 = III

II - I
III - a*I

<=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & a & 1 \\ 0 & a - 1 & 1 - a & -1 \\ 0 & 1 - a & 1 - a^2 & 1 - a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, den letzten Schritt nehme ich Dir nicht ab. Du musst noch eine Null herstellen, und zwar in Zeile 3 Spalte 2. Wie Du das machst ist Dir überlassen, es reicht aber es so zu machen wie ich es gemacht habe.

10.08.2004, 18:44

svenb

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Super!!! Vielen Dank Mazze!!! endlich seh ich das jetzt auch, war ja gar nicht so schwer :P

Ich werde heute nacht mal noch an Aufgabe 1 arbeiten und hoffe das mir dann morgen einer weiterhelfen kann.

Bis denne

cu

11.08.2004, 10:09

svenb

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Guten Morgen,

so, da bin ich wieder :-)

Ich bräuchte nochmal eine Erklärung zu Aufgabe 1+2:

Aufgabe 2:
Das Aussrechnen mit der Determinante: wird das wie in Aufgabe 3 gelöst, mit Trapezform? Wenn ja würd ich die gern mal sehen, da ich nur in Zeile 2 Spalte 1 eine Null hinbekomme, indem ich die erste Spalte mit der zweiten vertausche so daß dass Lambda in der Mitte steht.
Falls das Ganze nicht so funktioniert, würde ich um einen weiteren Schritt bitten. Ich weiß halt nicht für welches Lambda das Ganze Null ergibt. Sonst könnte man ja nach Sarrus ausrechnen, nur der Zwischenschritt fehlt mir.

Und jetzt bitte ich nochmal um Hilfe für Aufgabe 1:

erstmal zu a)

Ich brauche zwei unabhängige Variablen l,m (lambda, mü).
Und ersetzt: y := l und z:= m
Dann ergibt sich:
x = -0.5*l - 0.5*m + 2
y = l
z = m

nach Umformen dann ->

/ 2 \ / -0.5 \ / -0.5 \
p = | 0 | + l * | 1.0 | + m * | 0.0 |
\ 0 / \ 0.0 / \ 1.0 /

hoffe das ist richtig, wenn nein bitte ich um Korrektur.

zu b)
Da ich mich mit der HNF nicht auskenne, ist die Frage ob ich das Ganze auch auf andere Weise ausrechnen kann? Kreuzprodukt?

Ich brauche doch Ortsvektoren (r) oder? Der Normalenvektor ist ja n=(2;1;1)

n berechnet sich ja normalerweise mit den Richtungsvektoren der Ebene a und b so dass ich die Paramterform aufstellen kann:

r= r1 +Lambda a + mü b

So jetzt hab ich das Problem das ich nicht weiß wie ich eine zweite Ebenengleichung bekommen kann und was ich sonst noch brauche.
Das mit dem beliebigen Punkt wählen erschliest sich mir im Moment nicht. Das Gleiche Problem hab ich auch bei c und d.

Bin schon ganz verwirrt: Hat da eine Aufgabe mit der Vektoriellen 3-Punkte-Form zu tun? Das ich also 3 Punkte P1, P2, und P3 benötige.

Wenn's nicht zu viel Mühe macht, wäre ich sehr dankbar für eine Auflistung wie ich beliebige Punkte aufstelle, in was ich die einsetze, wie ich eine 2 Ebene bilde usw.

Vielen Dank!!!

11.08.2004, 11:14

svenb

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Kurz noch zu Aufgabe 3:

habe hier noch III + II gemacht.

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & a & 1 \\ 0 & a-1 & 1-a & -1\\ 0 & 0 & 2-a-a²& -a \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

muss ich jetzt auf beiden Seiten auf Null kommen? unten im Bsp ist es einfach zu erkennen welches a eingesetzt werden muss.

und hier?

11.08.2004, 12:06

Mazze

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Du gehst jetzt von hinten nach vorne durch, überprüfst erstmal die Nullstellen von

-a² -a + 2 und von -a.

Denk dran

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & a & 1 \\ 0 & a-1 & 1-a & -1\\ 0 & 0 & 2-a-a²& -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

heißt eigentlich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & y & a*z & = 1 \\ 0*x & (a-1)*y & (1-a)*z & = -1\\ 0*x & 0*y & (2-a-a²)*z& =-a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nochwas, die geraden Striche die Du gezeichnet hast sind falsch, das ist nämlich ein Ausdruck für eine Determinante. Du willst aber nur die Matrix umformen also runde Klammern.

Zu 2a

Es gibt viele Wege die Determinante zu errechnen. zum einen Sarrus, dann die Trapezform, und am ende noch der Entwicklungssatz. Die Determinante ist das Produkt der Hauptdiagonalelemente bei einer Matrix in Trapezform

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ \lambda & 4 & 5 \\ 4 & 11 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Vertauschen von Zeilen ändert das Vorzeichen der Determinante
Es gilt also

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ \lambda & 4 & 5 \\ 4 & 11 & 1 \end{vmatrix} = -1*\begin{vmatrix} \lambda & 4 & 5 \\ 1 & -2 & -3 \\ 4 & 11 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Addieren eines reellen Vielfachen einer anderen zeile zu einer Zeile ändert die Determinante nicht. Wenn dir Sarrus ein Begriff is nutze doch einfach die Formel und vereinfache den Ausdruck.

1a) Du machst es Dir viel zu schwer, wähle einfach 3 Punkte (x,y,z) die die Ebenengleichung erfüllen. Danach kannst Du mit diesen 3 Punkten ganz einfach die Parameter Gleichung aufstellen. Um zu überprüfen ob deine Parameterform und Koordinatenform gleich sind, setze sie gleich.

Paremeterform sieht übrigens so aus

OV + x*V1 + y*v2

Deswegen versteh ich deine Darstellung da nicht so ganz.

1b) Ich kann mir eigentlich nicht vorstellen das ihr die Hessische Normalenform nicht hattet. Ansonsten fällt mir da nämlich nur ein sehr umständlicher Weg ein.

1c) Du hast bereits die Ebene in Parameterform. suche Dir einen bel. Punkt der Ebene, und setze diesen Punkt für den ortsvektor der Ebene ein. Die neue Ebene liegt dann genau in der alten.

1d) Du hast bereits die Gerade gegeben. Nutze diese Gerade doch um die Form der zweiten Ebene zu bekommen. Das sieht dann etwa so aus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \alpha*\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für den Vektor v gilt, das er senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren der Ausgangsebene ist, Kreuzprodukt! Schon bist Du fertig.

Und keine Doppelposts bitte. Nutze die edit funktion.

11.08.2004, 13:17

svenb

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zu 1 a)

meinst du mit 3 Punkten 3*x und 3*y und 3*z?
ich nehme 3 Punkte die dann 4 ergeben? 2x +y +z = 4

A (0/0/4), B(1/1/1), C(2/0/0).

und bestimme dann einen Aufpunkt von einem der 3 Punkte?
also für A = Vektor AB = (1/1/-3); Vektor AC = (2/0/-4)

Dann ist die Ebene : P = (0/0/4) + lambda (1/1/-3) + mü (2/0/-4).

???

zu 1b)

habe mir die HNF mal auf Wikipedia angeschaut (http://de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform)

2x + y + z - 4 = 0.
Der Normalvektor ist (2/1/1), sein Betrag ist Wurzel 6.

Also ist 2/Wurzel 6 x + y/Wurzel 6 + z/Wurzel 6 - 4/Wurzel 6 = 0 die HNF ?

so und für d=2

2/Wurzel 6 x + y/Wurzel 6 + z/Wurzel 6 - 4/Wurzel 6 = 2.
z.B. (Wurzel 6 / 0 / 4). ???

Also ist dieser Punkt der Aufpunkt der neuen Ebene mit der Gleichung (Wurzel 6 / 0 / 4) + lambda (1/1/-3) + mü (2/0/-4).

???

zu 1c) " Du hast bereits die Ebene in Parameterform. suche Dir einen bel. Punkt der Ebene, und setze diesen Punkt für den ortsvektor der Ebene ein. Die neue Ebene liegt dann genau in der alten."

Beliebiger Punkt ist wieder wie bei a) also welche x,y,z = 4 ergibt?
Und wo hol ich den Ortsvektor her?

zu d)

Richtungsvektor ist (1,1,1) oder? dann hab ich noch 3 Punkte für v die unbekannt sind, oder wie?

zu 2a)

wie kann ich denn mit Sarrus das ausrechnen, wenn ich das jetzt sturr rechne habe ich auf der rechten und der linken seite von MINUS einen Wert mal Lambda, also immer noch eine Unbekannte aber mit unterschiedlichen Faktoren, aber damit komm ich doch nicht auf null wenn ich beide Seiten abziehen soll.

zu 3)
Hmmmm......

-a² -a + 2 und von -a.

Nullstellen überprüfen: heißt das ich nehme -a auf die andere Seite und setze gleich Null?

also: -a² - a + 2 +a = 0 ?

-a² +2 = 0

Bitte um Erklärung.

Ich glaube je mehr ich überlege desto komplizierter mach ich es mir und dir :-)

11.08.2004, 13:34

Mazze

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Ich stelle fest das Du massive Lücken hast was bereits Grundlagen angeht. sag mir was ist ein ortsvektor? Was ist eine Richtungvektor? Hast Du überhaupt verstanden was eine Ebene oder eine Gerade wirklich bedeuten? Wie erhält man aus 2 Punkten eine Gerade? Wie erhällt man aus 3 Punkten eine Ebene? Wie formt man die Ebenengleichungen in einander um? Du verstehst den Gaußschen Algorithmus nicht, obwohl Du bereits nach ihm Umgeformt hast. welche Klassenstufe bist Du?

Bevor Du die Bearbeitung derartiger Aufgaben beginnst solltest Du Dir erstmal klar werden was die ganzen Grundlagen eigentlich bedeuten , ergo sie verstehen. Die Aufgaben sind alle nicht schwer, wenn man die Grundlagen hat.

1a) ist richtig.

Der Richtungsvektor ist nicht (1,1,1) sondern (-3,0,1). wie gesagt wenn man die Geradengleichung verstanden hätte wüsste man warum das Teil Richtungvektor heißt. Und es sind alle Vektoren gegeben Du kannst V einwandfrei bestimmen.

Zu 3.

(-a² - a +2)*z = -a

Das ist die Gleichung, du willst jetzt abhängig von a bestimmen wann die Gleichung eine Lösung, unendlich Lösungen oder keine liefert. Dazu musst du gucken wann die rechte seite null ist und wann die linke Seite, speziell (-a² -a +2) null ist.

zu 2a)

Wie Du das ausrechnen kannst? In dem Du die Regel anwendest, äquivalent umformen kannst Du hoffentlich.

Die Hessesche Normalenform

$\begin{eqnarray*} 0 = (\vec{OR} - \vec{V_0})* \vec{n_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{n_0} = \frac{\vec{n}}{\vec{|n|}} \end{eqnarray*}$

für n senkrecht zu E

Der Abstand

$\begin{eqnarray*} d = |(\vec{OR} - \vec{V_0})* \vec{n_0}| \end{eqnarray*}$

Ein zweiter Beweis warum G nicht in $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ liegt, folgt aus der Tatsache das

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = 6 -1 = 5 \neq 0 \end{eqnarray*}$

gilt. Somit ist G nicht in $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ und man kann sich sämtliche Überlegungen diesbezüglich sparen.

11.08.2004, 16:36

svenb

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Ich hab jetzt nochmal ein paar Stunden in mein Papula Buch geschaut.

Aufgabe 2+3 hab ich jetzt verstanden!! Nachdem ich das mit dem Gleichungssystem hatte.

Ich kappiers halt am Besten wenn ich die ganzen Vektoren in Zahlen sehe und diese dann zugeordnet sind.

Ich versteh nicht warum 1b) falsch ist?

Ist der Richtungsvektor der Geraden jetzt (3,0,-1) oder muss man den von x y und z abziehen? also x0 -3, y0 0; z0 1

"Für den Vektor v gilt, das er senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren der Ausgangsebene ist, Kreuzprodukt! Schon bist Du fertig."

Da im Buch alles mit n1 und n2 und r als Ortsvektor a als Richtungsvektor angegeben ist verwirrt das alles ein bisschen. Und dort wird immer nur nach der Geradengleichung gesucht und die beiden Ebenen sind stets gegeben deshalb weiß ich das wenn n1xn2 !=0 das diese sich längs einer Geraden schneiden.
Und E1: n1 (r-r1) = 0 und E2: n2(r-r2)=0

Gerade: r(Lambda) = r0 +Lambda a

Ich weiß ich nerve, würd's auch gerne ändern!!
Hab mir glaub ich zuviel versch. Dinge durchgelesen, plötzlich taucht ein Spannvektor und dann ein Stützvektor auf :-)

Also bei b, c und d bin ich noch sehr verwirrt auch wenn du das recht einfach erklärst und es sich auch logisch anhört.
Hilfe

11.08.2004, 17:53

Mazze

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Zitat:

Ist der Richtungsvektor der Geraden jetzt (3,0,-1) oder muss man den von x y und z abziehen?

Die Gerade ist bereits in Punktrichtungsform gegeben. Das heißt Du kannst den Vektor so nehmen wie er ist.

Ansatz

$\begin{eqnarray*} E_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \alpha*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + \beta*\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gerade:

$\begin{eqnarray*} G = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda* \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gesucht

$\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft das $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ Orthogonal zu $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ ist und sich in der Schnittgeraden G mit $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ schneidet.

Das heißt G ist in $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ . Und das wiederum heißt das ich den Ortsvekor (1,1,1) als Stützvektor der Ebene $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ benutzen kann und den Richtungsvektor von G als ersten Richtungsvektor.

=>

$\begin{eqnarray*} E_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \gamma*\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \delta*\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun, V muss jetzt so gewählt werden das er senkrecht zu $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ steht. Du kennst bereits einen Vektor der senkrecht zu $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ steht.
n = V gilt also. Und schon steht die Ebene.

1b) ich werde Dir jetzt die Ebene in hess'scher Normalenform hinschreiben, die Aufgabe musst Du aber selbst lösen.

$\begin{eqnarray*} n_0: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_0 = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} E_1 = (\vec{V} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}) \cdot \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

daraus Folgt für den Abstand der Ebene zu einem Punkt:

$\begin{eqnarray*} d = |(\vec{V_R} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}) \cdot \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}| \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} V_R \end{eqnarray*}$ Ortsvektor des Punktes ist.

edit

Die Gerade G liegt nach meiner Rechnung nicht in $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda* \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich wähle Lambda = 1. Ergebniss ist dann

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dieser Punkt erfüllt die Gleichung 2x + y + z = 4 nicht!
Denn 2*4 + 1 + 0 = 4 erzeugt einen Widerspruch. Demzufolge kann die Gerade niemals Schnittgerade sein. Kann da mal einer drauf gucken und überprüfen was der Fehler ist? (bei mir*)

edit2

Ich bin mir jetzt ziemlich sicher das das eine Falle war, denn der Richtungsvektor von G ist nicht Orthogonal zu (2,1,1)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = 6 - 1 = 5 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist klar, G ist nicht in $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ und kann so niemals Schnittgerade sein.

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