Dreieckszahl

13.01.2014, 23:18	Teilzeitastronaut	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreieckszahl Meine Frage: Hallo, ich habe mal eine etwas kniffelige Aufgabe, bei der ich nicht so recht weiter komme. Gegeben seien ein Offset o, ein Startwert s und die Gleichung $\begin{eqnarray} f(x) = \textbf{o} + (\textbf{s}+1) + (\textbf{s} + 2) + (\textbf{s} + 3) + ... + (\textbf{s} + x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} o,s,x\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Für welchen Wert x ist das Ergebnis der Gleichung eine Dreieckszahl? Beispiel: o = 10, s = 492 $\begin{eqnarray} f(x) = 10 + 493 + 494 + 495 + ... + (492 + x) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Man bekommt ja bereits eine Dreieckszahl durch das Inkrement auf den Startwert $\begin{eqnarray} f(x) = o + sx + \frac{x(x+1)}{2} \end{eqnarray}$ Die entscheidende Frage scheint mir also zu sein, wie die Addition von o und sx die Dreieckszahl verändert und wann daraus wieder eine Dreieckszahl wird...
14.01.2014, 11:41	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Elementare Zahlentheorie Nun ja, das lässt sich ja ansetzen: $\begin{eqnarray} o + sx + \frac{x(x+1)}{2} = \frac{y(y+1)}{2} \end{eqnarray}$ . Mit ein paar geschickt gewählten Umformungen kann man geeignet faktorisieren: $\begin{eqnarray} 2o-s^2-s = (y-x-s)(y+x+s+1) \end{eqnarray}$ Rechts steht ein Produkt aus einer geraden und einer ungeraden Zahl. Die Primfaktorzerlegung der linken Seite $\begin{eqnarray} 2o-s^2-s \end{eqnarray}$ führt nun zu den möglichen Produktzerlegungen und damit den Lösungen. In dem von dir angeführten Beispiel $\begin{eqnarray} o = 10, s = 492 \end{eqnarray}$ ergibt sich damit übrigens $\begin{eqnarray} 2o-s^2-s = -242536 = -2^3 \cdot 7 \cdot 61 \cdot 71 \end{eqnarray}$ mit dann insgesamt acht nichtnegativen $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ -Lösungspaaren $\begin{eqnarray} (0,4) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (5,70) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (1251,1672) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (1526,1957) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (1701,2137) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (14670,15154) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (16835,17320) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (120776,121267) \end{eqnarray}$ .

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