lineare Abbildung

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14.01.2014, 16:09	Lynn2	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Abbildung Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} K = Q \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} K = F_p \end{eqnarray}$ , fur eine Primzahl p. Untersuchen Sie in Abhangigkeit von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ , ob es eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \alpha : K_3 \Rightarrow K_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha \left( \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}^{T} \right) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}^{T} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \alpha \left( \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}^{T} \right) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}^{T} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha \left( \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}^{T} \right) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}^{T} \end{eqnarray}$ gibt. Meine Ideen: Ich weiß, dass man eine lineare Abbildung untersucht indem man sie auf Additivität und Homogenität untersucht. Für Additivität hätte ich gedacht: $\begin{eqnarray} \alpha \left( \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}^{T} + \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}^{T} + \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}^{T}\right) = \alpha \left( \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}^{T} \right) + \alpha \left( \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}^{T} \right) + \alpha \left( \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}^{T} \right) \end{eqnarray}$ Ich weiß leider nicht, ob ich das T um alle Vektoren soll oder so, wie ich es gemacht habe, es um jeden einzeln Vektor setzen soll. Danke im Voraus.
14.01.2014, 20:12	Lynn2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \alpha \left( \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}^{T} + \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}^{T} + \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}^{T}\right) \end{eqnarray}$ Wie löse ich das? Ich habe doch gar keine genaue Bildungsvorschrift.
14.01.2014, 20:27	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, hast Du und zwar in Form von drei Bildern der Abbildung. Der Punkt ist aber: Es bringt Dich nicht weiter. Du solltest vielmehr prüfen, ob die drei Vektoren linear unabhängig sind. Wenn sie es nicht sind, müssen die Bilder zusammenpassen, damit eine lineare Abbildung existieren kann. Zum beispiel gibt es keine lineare Abbildung auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(1)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(2)=1 \end{eqnarray}$ , da aus $\begin{eqnarray} f(1)=0 \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=0+0=0 \end{eqnarray}$ folgt.
14.01.2014, 20:39	Lynn2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin der Meinung, dass die Vektoren linear unabhängig. Aber wenn sie das schon so schreiben, dann werden sie linear abhängig sein, aber warum?
14.01.2014, 21:15	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechne doch mal die Determinante aus und denk dran, dass der Körper recht allgemein gehalten wurde.
14.01.2014, 22:03	Lynn2	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann doch aber nur von Matrizen die Determinanten berechnen oder nicht?
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14.01.2014, 22:17	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja und was ergeben drei spaltenvektoren eines dreidimensionalen Raums, wenn man sie nebeneinander schreibt?
15.01.2014, 09:51	Lynn2	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Determinante ist -19, sodass die Vektoren linear unabhängig sind, weshalb sie keine lineare Abbildung darstellen. Somit ist meine Aufgabe schon beantwortet?
15.01.2014, 17:13	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Determinante ist nicht -19, rechne noch mal nach. Selbst wenn sie -19 wäre, wären die Vektoren beispielsweise für p=19 linear abhängig.

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