Erwartungswert

14.01.2014, 16:18

amanda84

Erwartungswert

Meine Frage:
Hallo! Ich habe eine Aufgabe und komme damit leider nicht weiter.
Die Aufgabe lautet:

Seien $\begin{eqnarray*} X_1, X_2, X_3 \end{eqnarray*}$ unabhängige auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable. Was ist der Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} Y := max {X_1, X_2, X_3} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich habe eine Vorstellung davon was Unabhängigkeit bedeutet:
$\begin{eqnarray*} P ( A \cap B ) = P ( A ) \cdot P ( B ) \end{eqnarray*}$
Leider weiß ich nicht wie man das Maximum in Betracht zieht.
Der Erwartungswert würde sich dann sicher über:
$\begin{eqnarray*} E(x) = \int_a^b X(x) f(x) dx \end{eqnarray*}$ berechnen

LaTeX-Tags korrigiert. Steffen

14.01.2014, 20:22

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \{ Y \leq y \} = \{ X_1 \leq y \} \cap \{ X_2 \leq y \} \cap \{ X_3 \leq y \} \end{eqnarray*}$

Mit der Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ kannst du jetzt leicht die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ bestimmen.

14.01.2014, 21:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von amanda84
Der Erwartungswert würde sich dann sicher über:
$\begin{eqnarray*} E(x) = \int_a^b X(x) f(x) dx \end{eqnarray*}$ berechnen

Ziemlich achtlos hingeworfen, und voller inhaltlicher Fehler - einfach nur schrecklich anzuschauen. unglücklich

Was du meinst, ist wohl das:

$\begin{eqnarray*} E(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine stetige Zufallsgröße mit Dichte $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ ist.

14.01.2014, 21:34

amanda84

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke ersteinmal für deine schnelle Antwort. Nur leider kann ich damit nicht allzu viel anfangen.

Meinst du damit dass P({Y<= y}) die Verteilungsfunktion ist?
Und ist dann P({Y<= y}) = P([0,1]) = $\begin{eqnarray*} \int_0^1 f(t) dt \end{eqnarray*}$ ?

An HAL 9000: Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung. Das ist die Original Aufgabe.

14.01.2014, 22:48

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von amanda84
Meinst du damit dass P({Y<= y}) die Verteilungsfunktion ist?

Ja.

Zitat:

Original von amanda84
Und ist dann P({Y<= y}) = P([0,1]) = $\begin{eqnarray*} \int_0^1 f(t) dt \end{eqnarray*}$ ?

Die linke Seite hängt von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab, die rechte nicht. Das kann also so nicht stimmen.

Zitat:

Original von amanda84
An HAL 9000: Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung. Das ist die Original Aufgabe.

Ich bin zwar nicht angesprochen, erlaube mir aber doch eine Antwort. Es geht HAL 9000 nicht um deine Aufgabe, sondern um deine falsche Formel für den Erwartungswert.

Zitat:

Original von amanda84
Danke ersteinmal für deine schnelle Antwort. Nur leider kann ich damit nicht allzu viel anfangen.

Schau die Beziehung in meinem ersten Beitrag an. Mit der Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ kannst du doch $\begin{eqnarray*} P(Y \leq y) \end{eqnarray*}$ jetzt berechnen. Dann hast du auch sofort die Dichte $\begin{eqnarray*} g(y) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ und den Erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{E}(Y) = \int_{- \infty}^{\infty} y \cdot g(y) ~ \dd y = \int_0^1 y \cdot g(y) ~ \dd y \end{eqnarray*}$

Allerdings solltest du dir klarmachen, warum die Beziehung gilt.

15.01.2014, 20:05

amanda84

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe eine Idee:

Die Dichtefunktion sollte doch gleich 1 sein, da das ganze gleichverteilt ist, oder?
Und dann:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 Y(x)f(x) dx = \int_0^1 max\{X_1, X_2, X_3\}f(x) dx = \int_0^1 max\{X_1, X_2, X_3\} \cdot 1 dx = x \cdot \int_0^1 max\{X_1, X_2, X_3\} \end{eqnarray*}$ ???

15.01.2014, 20:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von amanda84
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 Y(x)f(x) dx = \int_0^1 max\{X_1, X_2, X_3\}f(x) dx = \int_0^1 max\{X_1, X_2, X_3\} \cdot 1 dx = x \cdot \int_0^1 max\{X_1, X_2, X_3\} \end{eqnarray*}$ ???

Tja, meine Standpauke von oben ist bei dir wirkungslos verpufft. Finger2

Ein letztes Mal: Es ist definiert $\begin{eqnarray*} E(Y) = \int\limits_{\Omega} Y(\omega) ~ \dd P(\omega) \end{eqnarray*}$ als Lebesgue-Integral im Wahrscheinlichkeitsraum. Für die konkrete praktische Berechnung bei stetigen Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ geht man allerdings per Transformationssatz von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ in den Bildraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ über, und kann dann schreiben

$\begin{eqnarray*} E(Y) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} y\cdot f_Y(y) ~ \dd y \end{eqnarray*}$

unter Einbeziehung der Dichte $\begin{eqnarray*} f_Y \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ . Was du in deinen Formeln dann leider zum wiederholten Mal fabrizierst, ist ein schrecklich falscher Mischmasch aus diesen beiden Darstellungen, bei der es dann nicht im geringsten verwundert, dass du nix rausbekommst. unglücklich

Ich werde mal den nächsten Schritt basierend auf dem Hinweis

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \{ Y \leq y \} = \{ X_1 \leq y \} \cap \{ X_2 \leq y \} \cap \{ X_3 \leq y \} \end{eqnarray*}$

Mit der Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ kannst du jetzt leicht die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ bestimmen.

gehen: Wegen dieser Unabhängigkeit gilt für die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_Y \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(X_1\leq y) \cdot P(X_2\leq y) \cdot P(X_3\leq y) \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} P(X_k\leq y) = y \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y\in [0,1] \end{eqnarray*}$ folgt dann $\begin{eqnarray*} F_Y(y) = y^3 \end{eqnarray*}$ . Daraus kannst du die Dichte $\begin{eqnarray*} f_Y \end{eqnarray*}$ bestimmen und damit wiederum bei Nutzung der richtigen Erwartungswertformel

$\begin{eqnarray*} E(Y) = \int\limits_0^1 y\cdot f_Y(y) ~ \dd y \end{eqnarray*}$

dann auch den gesuchten Erwartungswert. Die Einschränkung auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ beim Integral ist möglich, weil die Dichte $\begin{eqnarray*} f_Y(y) \end{eqnarray*}$ außerhalb dieses Intervalls gleich Null ist.

15.01.2014, 21:52

amanda84

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!
ich habs!

15.01.2014, 21:54

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du auch 2/3 heraus?

15.01.2014, 23:51

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu schade, dass amanda nicht mehr antwortet. Na Ok, wenn man die vergleichende Kontrolle nicht nötig hat. Augenzwinkern

16.01.2014, 08:10

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Und so werden wir nie erfahren, ob sie $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ heraus hat. Oder vielleicht $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ ? Oder doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \pi \operatorname{i}} \end{eqnarray*}$ ?

Neue Frage »

Antworten »

Erwartungswert

Verwandte Themen