Matrixberechnungsproblem

15.01.2014, 14:48

Tipso

Matrixberechnungsproblem

Hallo,

Habe hier folgendes Problem.

Es geht um eine 3x3 Matrix für die Ich die Einheitsmatrix brauch.
Ich kenne diese aber nur für 2x2 Matrixe.

Ich versuche es mal zu Lösen:

Lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} Ax=B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{-1}Ax = A^{-1}B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = A^{-1} \end{eqnarray*}$

Für die Inverse von A brauche ich die Determinante.
Diese beträgt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{17676} \end{eqnarray*}$

Soweit alles richtig?

15.01.2014, 19:36

kgV

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Der Lösungsweg passt (abgesehen vom vergessenen b am Ende) Freude

Deine Determinante ist falsch smile

Wie hast du denn gerechnet?
man könnte u.U. den Satz von Sarrus anwenden, wenn der schon bekannt ist
Nur als Anmerkung: eine Matrix mit ganzzahligen Werten kann nie eine rationale Zahl als Determinante haben.

Und wenn du ans Invertieren gehst, dann will ich dich schon mal warnen: da kommen teils sehr unschöne Zahlen zusammen - am Ende heben sich die aber wieder auf (welch Wunder Augenzwinkern

)

Lg
kgV
Wink

15.01.2014, 20:07

Tipso

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Zitat:

Matrix mit ganzzahligen Werten kann nie eine rationale Zahl als Determinante

Warum?

Die Determinante habe ich berechnet indem ich die Dianogalen multipliziert habe und dann von der andere Diagonale abgezogen.
Danach 1 durch das Ergebnis genommen??

15.01.2014, 20:43

riwe

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in einfachen worten: addiere, subtrahiere und/ oder multipliziere ganze zahlen und schau, was dabei rauskommt.

was du letztlich gemacht hast,das wäre der Kehrwert der Determinante, aber der stimmt auch nicht, da die Berechnung der Determinante falsch ist, D = 5625 oder so

15.01.2014, 21:04

kgV

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Die Determinante einer 3x3-Matrix berechnet man nach dem Satz von Sarrus, indem man die ersten beiden Spalten rechts an die Matrix hängt und dann alle Diagonalen von links oben nach rechts unten addiert und davon die Diagonalen von rechts oben nach links unten abzieht - und wie riwe schon angemerkt hat, dabei können nur ganze Zahlen rauskommen

15.01.2014, 21:11

Tipso

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es geht doch auch ohne determinante oder?

Wenn ich aus der Matrix die drei Gleichungen aufschreibe und versuche durch Elimination zu lösen?

15.01.2014, 21:20

kgV

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Natürlich geht es ohne Determinante auch: dazu musst du einfach die Einheitsmatrix rechts neben deine Matrix schreiben und dann die Matrix auf Stufenform bringen. Wenn du mit der Einheitsmatrix dieselben Umformungen machst, hast du dann am Ende die inverse Matrix dort stehen. Ich mache den Anfang:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}9&-3&6&1&0&0\\-3&26&33&0&1&0\\6&33&78&0&0&1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}-3&26&33&0&1&0\\9&-3&6&1&0&0\\6&33&78&0&0&1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&-\frac{26}3&-11&0&-\frac 13&0\\0&75&105&1&3&0\\0&85&134&0&2&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du kannst zwar auch die Gleichungen lösen, aber ich glaube nicht, dass das der Sinn der Aufgabe ist, immerhin wurde sie in Matrixform gestellt, also soll sie wohl auch darin gelöst werden smile

15.01.2014, 21:56

Tipso

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Ich würde es schon gerne mit dem Eliminationsverfahren machen.

Wir machen es mit der choleski Zerlegung. (nachgelesen)

Ich habe auch schon den ersten Schritt gemacht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9 & -3 & 6 \\ -3 & 26 & 33 \\6 & 33 & 78 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l_{11} & l_{21} & l_{31} \\ 0 & l_{22} & l_{32} \\ 0 & 0 & l_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -1 & 12.5 & 0 \\ 2 & -166.01& 20.15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.01.2014, 22:04

Tipso

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fehler gefunden, arbeite an Verbesserung.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 0 \\ 2 & 5& 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sollte soweit passen.

15.01.2014, 22:49

Tipso

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Ich habe l_32 mit l_33 vertauscht.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 0 \\ 2 & 7&5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nächster Schritt erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -38 \\ -34 \\ -35 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x_3 = -7 \end{eqnarray*}$

Wichtig wäre noch deine Methode und die mittels Eliminationsmethode zu verstehen ..

15.01.2014, 23:53

kgV

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Das Ergebnis stimmt schon mal, die Cholesky-zerlegung kenne ich nicht und habe auch grade nicht die Zeit, mich da einzulesen - morgen vielleicht, von daher kann ich zum Weg nichts sagen.

Wozu ich aber etwas sagen kann, ist der Weg mittels Gaussverfahren: Du formst die Matrix solange um, bis sie Stufenform hat (sprich: die ersten drei Spalten die 3x3-Einheitsmatrix bilden). Die restlichen drei Spalten sind dann die inverse Matrix. Mit der kannst du dann diene Spalte b multiplizieren und bist fertig. Warum das funktioniert? Nun, wenn du eine Matrix mit ihrer Inversen multiplizierst, bekommst du die Einheitsmatrix. Wenn du die Einheitsmatrix mit der Inversen multiplizierst, bekommst du die Inverse. Das Umformen zur Einheitsmatrix kannst du auch als Multiplikation mit Elementarmatrizen sehen und weil die Matrizenmultiplikation assoziativ ist, kannst du dir vorstellen, dass du zuerst alle diese Elementarmatrizen zusammenmultiplizierst und dann gebündelt auf die Matrix loslässt - diese wird daraufhin zur Einheitsmatrix, also musst du die Inverse Matrix haben. weil du aber die Einheitsmatrix mit derselben Matrix multipliziert hast, weißt du, dass die rechten drei Spalten die Inverse sein müssen.

Verständlich?

16.01.2014, 00:19

Tipso

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Mein Problem bei der Inversen Matrix ist, dass ich bei 3x3 Matrizen nicht weiß, wie ich diese bilden soll. Bei der Determinaten hackt es dabei.

Bei einer 2x2 wird ja d_1 - d_2 = 1/det

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 2 & \\ 1 & 5 & \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3*5 - 1*2 = 12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det = \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

16.01.2014, 00:55

kgV

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Wo auch immer du diese Formel für die Determinante herhast, sie ist falsch: Es gilt: $\begin{eqnarray*} \operatorname{det}A=A_{11}\cdot A_{22}-A_{12}\cdot A_{21} \end{eqnarray*}$ , ohne den Bruch da drin, in deinem Fall also 13 (und nicht 12 Augenzwinkern

)
Für die 3x3-Matrizen gilt: $\begin{eqnarray*} \operatorname{det}A=A_{11}\cdot A_{22}\cdot A_{33}+ A_{12}A_{23}A_{31}+A_{13}A_{21}A_{32}-A_{13}A_{22}A_{31}-A_{12}A_{21}A_{33}-A_{11}A_{23}A_{32} \end{eqnarray*}$ , also die (wie schon oben erwähnt) die lo-ru Diagonalen minus die ro-lu-Diagonalen der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}9&-3&6&9&-3\\-3&26&33&-3&26\\6&33&78&6&33\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, bin jetzt aber für diese Nacht aD... ade Augenzwinkern

gN8

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