Determinante im homogenen LGS

15.01.2014, 19:03	GOLFMKI	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante im homogenen LGS Hallo Community! Es sei A $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ^n $\begin{eqnarray} \times \end{eqnarray}$ n. Die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0 ist eine Gerade durch den Nullpunkt. Dann ist det (A) = 0 und somit der Rg (A) = n-1 Da ich hier bereits die Lösung mit angegeben habe suche ich eine (ausführliche) Erklärung für det(A)=0. Das mit dem Rang erklärt sich dann ja von selbst... Ich weiß das die Lösungsmenge eines homogenen LGS immer einen Unterraum bildet. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Systems bildet nie einen Unterraum. Sondern einen affinen Unterraum ( aus dem Nullpunkt verschoben). Mir fehlt bei der oben aufgeführten Frage einfach die Begründung warum det(A) = 0 ist. Freue mich über eine Antwort. Gruß der Golffahrer.
15.01.2014, 19:22	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante im homogenen LGS Was genau weißt du denn über Determinanten? Wie sieht es zum Beispiel aus mit: Eine Matrix A über einem Körper K ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist? Da du ja sagst, dass dir die Aussage mit dem Rang klar ist, folgt dann aus Rg(A) = n-1, dass A nicht surjektiv und damit insbesondere nicht invertierbar ist. Oder direkt aus den Angaben: die Gerade Span(x) liegt im Ker(A), also A nicht injektiv, damit insbesondere nicht invertierbar. Falls du obige Aussage nicht kennst, aber zum Beispiel weißt, dass die Determinante sich gut unter Zeilen-/Spaltenoperationen verhält, dann bringe durch solche dochmal A auf Stufenform. Das kannst du (wegen Rang nicht voll) so hinbekommen, dass du eine Nullspalte bzw. Nullzeile dastehen hast - dabei ändert sich die Determinante nicht bzw. wenn du bei den Operationen etwas freier zu Werke gehst eventuell um einen nichttrivialen Vorfaktor. Dann folgt aber leicht aus der Zeilen-/Spaltenweise Linearität der Determinante, dass diese hier 0 ist. lg kai
15.01.2014, 19:33	GOLFMKI	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, habs verstanden, vielen Dank für die Antwort! Von alleine wäre ich nicht darauf gekommen das über die Surjektivität und Injektivität zu Argumentieren... Ein dickes Dankeschön Aber angenommen man wüsste nicht das Det(a)=0 gilt und damit der Rg(A). Wie kann man dann hierbei vorgehen? Gruß Pat
15.01.2014, 20:04	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du genau? So wie ich das verstehe ist die stringende Argumentation: nach Angabe ist <x>= kerA, also A nicht injektiv und insbesondere da dim ker(A) + dim Im(A) = n folgt rg(A) = dim Im(A) = n-1.
16.01.2014, 00:15	GOLFMKI	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin noch im ersten Semester und manchmal brauch ich noch ein bisschen Zeit um die Zusamenhänge zu erkennen Ich fasse nochmal in meine Worte zusammen: da gilt: Kern(A) = Lösungsmenge eines homogenen Systems (hier: Ax=c , mit c=0) ist hierbei der Kern(A) = 0 --> somit ist auch dim(Kern(A))=0 --->Dimensionsformel: dim(KernA)+dim(BildA)=n mit dimBild(A)= rg(A) ...und an dieser Stelle komme ich ins schleudern. Das einzige was ich in meinen Unterlagen zur Injektivität, Surjektivität , Bijektivität finden kann ist folgende Regel: Injektiv: Rang= Anzahl der Spalten der Matrix= Kern {0} Surjektiv: Rang= Anzahl der Zeilen der Matrix Bijektiv = Rang = Anzahl der Spalten = Anzahl der Zeilen Oder reicht es einfach zu wissen das bei einem homogenen LGS keine Inversen entstehen und somit det(A)=0 gilt --> = Rg A<n? Wäre echt klasse wenn du mir das mit den Eigenschaften (inj-sur-bijektiv) kleinschrittig erklären kannst! LG Pat.
16.01.2014, 01:02	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Die Lösungsmenge ist doch hier die Gerade (eindimensionaler Unterraum) kerA=span(x). Also dim kerA=1. Das sollte dein Fehler gewesen sein.
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16.01.2014, 18:44	GOLFMKI	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt erklärt! Danke!

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