Gruppe ist Untergruppe der allgem. linearen Gruppe

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Baldwin Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe ist Untergruppe der allgem. linearen Gruppe
Hallo

Ich habe folgende Aufgabe:

Zeigen Sie:

Die Menge G, definiert durch:



ist bezüglich der Matrixmultiplikation eine Untergruppe der


Also ich weiß, dass meine Gruppe alle regulären 3 x 3 - Matrizen enthält, also jene Matrizen, die invertierbar sind.

Ich habe jetzt für meine Menge G nachgerechnet, und festgestellt, dass die Transponierte gleich der Inversen ist. Somit gehört mein G zur orthogonalen Gruppe. (Darf ich das so pauschal sagen?)

Würde ich jetzt für alle Elemente aus G nachrechnen, und sehen, dass alle invertierbar sind, dann wäre ja gezeigt, dass mein G eine Teilmenge von ist und ich könnte die Untergruppenkriterien anwenden?

Aber muss ich hier wirklich für alle Elemente aus G das Inverse berechnen, um zu zeigen, dass es sich bei G um eine Teilmenge von handelt?

Muss ich überhaupt zeigen, dass G eine Teilmenge ist, oder kann ich direkt die Untergruppenkriterien anwenden?

Folgende Untergruppenkriterien würde ich dann noch zeigen wollen:

1)
2)
3)

zu 1:
Das G nicht leer ist, folgt ja eigentlich direkt aus der gegebenen Definition für G

zu 2: Hier müsste ich ja zeigen, dass A * B immer die Einheitsmatrix ergibt, und diese liegt ja bekanntlich, wie man in der Definition für G sehen kann, auch in meiner Menge.
Aber wie zeige ich das jetzt? Das weiß ich nicht genau.

zu 3:
Da weiß ich leider auch nicht genau, wie ich das zeigen soll.


Mein Problem ist irgendwie auch, um zu zeigen, dass es sich bei G um eine Teilmenge der orthogonalen Gruppe handelt, rechne ich jedes Element von G nach.

Theoretisch könnte ich ja jedes Untergruppenkriterium mit all meinen Elementen aus G nachrechnen, aber das ist sicher nicht gewollt.

Aber wie kann ich das allgemein machen?

Vielen Dank für Eure Hilfe.

Grüße von Baldwin
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Ich habe jetzt für meine Menge G nachgerechnet, und festgestellt, dass die Transponierte gleich der Inversen ist. Somit gehört mein G zur orthogonalen Gruppe. (Darf ich das so pauschal sagen?)

Wenn man "gehört zu" durch das präzisere "ist teilmenge von" ersetzt, dann ja.


Zitat:
Würde ich jetzt für alle Elemente aus G nachrechnen, und sehen, dass alle invertierbar sind,

Laut dem Absatz darüber hast du das doch bereits getan?

Zitat:
Muss ich überhaupt zeigen, dass G eine Teilmenge ist, oder kann ich direkt die Untergruppenkriterien anwenden?

Ja, das ist Teil des Untergruppenkriteriums.

Zitat:
Hier müsste ich ja zeigen, dass A * B immer die Einheitsmatrix ergibt,

Nein. Wie liest du denn das raus? Du musst zeigen, dass jedes Produkt von Elementen deiner Menge wieder ein Element der Menge ist (Abgeschlossenheit)

Zitat:
Da weiß ich leider auch nicht genau, wie ich das zeigen soll.

Inverses bestimmen und nachschauen ob es eine von den 6 Gruppenelementen ist.

Zitat:
Mein Problem ist irgendwie auch, um zu zeigen, dass es sich bei G um eine Teilmenge der orthogonalen Gruppe handelt, rechne ich jedes Element von G nach.

Was hat das mit dieser Aufgabe zu tun?

Zitat:
Theoretisch könnte ich ja jedes Untergruppenkriterium mit all meinen Elementen aus G nachrechnen, aber das ist sicher nicht gewollt.

Sowohl in Theorie als auch in Praxis musst du das für alle Elemente von G nachrechnen. Und es gibt hier wohl keinen kürzeren Weg (evtl. über Permutationsmatrizen)
 
 
Baldwin Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort. Bei dieser Aufgabe muss ich auch noch zeigen, dass G isomorph zu S3 ist.

Somit ist es wahrscheinlich, dass ich die kürzere Variante mit der Permutationsmatrix verwenden soll?

Wie würde das in etwa aussehen?

Das macht es für mich irgendwie schwieriger.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Somit ist es wahrscheinlich, dass ich die kürzere Variante mit der Permutationsmatrix verwenden soll?

Das genaue Gegenteil ist "wahrscheinlich". Ich schrieb übrigens von Permutationsmatrizen (Plural), denn es gibt mehr als eine davon. Hier in der Aufgabe stehen z.B. 6 Stück.

Die Aufgabe ist: "Zeigen Sie, dass ... eine untergruppe ist", nicht
"Überlegen Sie sich was der Aufgabensteller vielleicht eventuell unter Umständen sich bei der aufgabe gedacht hat".

Zitat:
Das macht es für mich irgendwie schwieriger.

Dann mach doch das einfachere.


Manchmal ist es halt schlicht so, dass man ein paar Fälle durchrechnen muss und es kein en Satz gibt der einem die Arbeit abnimmt.
Baldwin Auf diesen Beitrag antworten »

OK, danke nochmal

Was ich jetzt mache:

1) Ich bestimme die Inversen aller Elemente von G und zeige somit, dass G eine
Teilmenge von

2) Ich wende das erste Untergruppenkriterium an ()
Das ergibt sich ja direkt aus der Definition für mein G

3) Ich zeige ich .
Da habe ich jetzt Probleme. Ich kann ja nicht einfach alle 36 möglichen Fälle
durchrechnen? Und allgemein kann ich ja auch nicht zeigen, dass zwei
orthogonale Matrizen multipliziert wieder eine orthogonale Matrix ergeben. Weil das heißt ja nicht zwingend, dass die neue orthogonale Matrix in meinem G liegt.

4) Ich zeige, dass die Inversen Elemente in G liegen. Das kann ich ja dann wieder
für alle meine Elemente rechnen.


Aber bei der Abgeschlossenheit bräuchte ich bitte nochmal Hilfe

Vielen Dank
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

1) Es genügt zu zeigen, dass die Matrizen invertierbar sind.
2) Prinzipiell richtig. Es ist aber ein Riesenunterschied zwischen und 0.
3)
Zitat:
Ich kann ja nicht einfach alle 36 möglichen Fälle durchrechnen?

Wieso nicht? Weils zuviel Arbeit wäre?
Wenn man sich etwas geschickt anstellt werden es auch deutlich weniger Rechnungen, z.B. kann man sich alle Mult. mit Einheitsmatrix sparen.

Zitat:
Und allgemein kann ich ja auch nicht zeigen, dass zwei orthogonale Matrizen multipliziert wieder eine orthogonale Matrix ergeben.

1) Was hat das mit dieser Aufgabe zu tun? (Ich hab das schon mal gefragt.)
2) Dennoch ist das Produkt zweier orthogonaler Matrizen wieder eine othog. Matrix.

4) Wenn du in 1) die Inversen bereits berechnet hast ist hier nichts mehr zu rechnen.
Baldwin Auf diesen Beitrag antworten »

Versuche jetzt auch noch gerade, zu zeigen, dass G isomorph zu ist.

Ich definiere mir eine Abbildung und will jetzt im ersten Schritt zeigen, dass es ein Gruppenhomomorphismus ist.

Da sollte man ja dann zeigen, dass das neutrale Element von G auf das neutrale Element von abgebildet wird. Mein neutrales Element von G ist die Einheitsmatrix. Aber wie mache ich das jetzt genau, da habe ich auch noch Probleme.

Im zweiten Schritt wollte ich dann zeigen, dass der Gruppenhomomorphismus bijektiv, also surjektiv und injektiv ist.
Baldwin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Captain Kirk
Wieso nicht? Weils zuviel Arbeit wäre?
Wenn man sich etwas geschickt anstellt werden es auch deutlich weniger Rechnungen, z.B. kann man sich alle Mult. mit Einheitsmatrix sparen.



Nicht weil es zu viel Arbeit wäre, darum geht es mir nicht. Ich bin ja froh, wenn ich eine Lösung habe.

Habe die Mathematiker halt bisher so erlebt, dass alles möglichst elegant und geschickt gelöst werden will, und kann mir deshalb einfach nicht vorstellen, dass uns der Prof. jetzt eine Übung gibt, in der wir so viele Matrizenberechnungen machen müssen.

Ich schaue mir das jetzt nochmal an, um zu sehen, welche Fälle ich weglassen kann, um meine Anzahl an Multiplikationen zu minimieren.

Danke für deine Hilfe

Ich melde mich wieder
Baldwin Auf diesen Beitrag antworten »

Habe jetzt noch herausgefunden, dass das Inverse eines Elementes von G immer dem folgenden Element entspricht.

Aber wüsste nicht, was ich da sonst noch vereinfachen könnte?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

-Elegantheit liegt im Auge des Betrachters
-Nicht alles geht elegant
-Wenn einem kein eleganter Weg einfällt bleibt einem nichts anderes übrig als den uneleganten Weg zu gehen.

Zum Gruppenhom.:
Bilde Elemente der ordnung 3 auf Elemente der Ordnung 3 ab, ebenso für Ordnung 2.

Oder zeige, dass G aus Permutationen der Menge {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} besteht.
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, dass ich mich einmische, aber meiner Meinung nach der elegante Ansatz (in welchem man nicht alles doppelt machen muss):

Man mache sich klar, wie die Elemente aus auf der operieren (namentlich durch Permutation von Zeilen - bzw. Spalten - je nachdem, ob man von links oder rechts operieren möchte.)

Analog erhält man eine Operation der auf (durch Permutieren von Zeilen - bzw. Spalten - wie oben)

Wir erhalten einen Homomorphismus von . Wie dieser auszusehen hat, ist durch die obige Überlegung klar - genauso Wohldefiniertheit (wobei wir hier wieder die Wahl haben, ob wir ihn mit der links- oder rechts-Operation verträglich haben wollen).

Nun ist aber das Bild dieses Homomorphismus.

Kurz gesagt: es spart imo Aufwand, wenn man direkt mit dem Iso. anfängt. Wobei oben trotzdem Sachen sind, die man genauer begründen sollte.
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