Normalverteilung - kann Phi=0,242 sein?

16.01.2014, 14:46

mathenoobie_alsgast

Normalverteilung - kann Phi=0,242 sein?

Meine Frage:
Hallo Leute,

komme hier grade nicht weiter:

Die tatsächliche Flugzeit X [in Minuten] von Köln nach Washington kann als normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert My und Varianz kleinessigma² aufgefasst werden. (Sorry ich weiß nicht wie ich diese griech. Buchstaben hier finde)
Es sei bekannt, dass $\begin{eqnarray*} P(X\leq 470)=0,9332 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X\geq 426)=0,7580 \end{eqnarray*}$ .

Bestimmen Sie aus diesen Angaben My und kleinessigma².

(Da oben sollte eigentlich größer 426 stehen, nicht größer/gleich, aber das ist ja bei stetigen ZV glaube ich egal.)

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} P(X\leq 470)=0,9332 \end{eqnarray*}$ bedeutet ja $\begin{eqnarray*} F(470)=0,9332 \end{eqnarray*}$ , also ist das Phi hier 0,9332.
Aus der Tabelle liest man ab dass Phi für z= 1,5 diesen Wert annimmt.

Also $\begin{eqnarray*} \frac{470- My}{kleinessigma} = 1,5 \end{eqnarray*}$ .

Dieselbe Überlegung für die zweite Angabe machen und das dann durch umformen und gleichstzen auflösen bringt einem ja dann das kleine Sigma und das My, nur stecke ich bei der zweiten Angabe fest :/

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 426)=0,7580 \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} 1- F(426)= 0,7580 \end{eqnarray*}$ .
Also muss $\begin{eqnarray*} F(426)= 1- 0,7580= 0,242 \end{eqnarray*}$ sein. Das Phi ist hier also 0,242. Aber für welches z?? In der Tabelle stehen Werte kleiner als 0,5 nicht. Wikipedia hat mir nicht wirklich weitergeholfen.
Ich weiß dass man solche Werte mit der Tatsache rausfindet dass die Gesamtfläche unter der Gauß Glocke immer 1 ergibt und davon zieht man dann den Rest ab und erhält seine gesuchte Fläche.. aber hier ist es irgendwie andersrum oder ? Beziehungsweise ich hab hier voll den Faden verloren.

Wäre toll wenn das jemand weiß!

16.01.2014, 15:09

Steffen Bühler

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RE: Normalverteilung - kann Phi=0,242 sein?!

Zitat:

Original von mathenoobie_alsgast
Erwartungswert My und Varianz kleinessigma²

(Sorry ich weiß nicht wie ich diese griech. Buchstaben hier finde)

Das sind $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von mathenoobie_alsgast
Es sei bekannt, dass $\begin{eqnarray*} P(X\leq 470)=0,9332 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X\geq 426)=0,7580 \end{eqnarray*}$ .

Also ist die Fläche unter der Glocke von minus Unendlich bis 470 0,9332. Das ist die rote und die lila Fläche.

Und die Fläche unter der Glocke von 426 bis plus Unendlich ist 0,7580. Das ist die lila und die blaue Fläche.

Kommst Du nun weiter?

Viele Grüße
Steffen

16.01.2014, 15:26

mathenoobie_alsgast

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Nein ehrlich gesagt nicht :/

16.01.2014, 16:13

Steffen Bühler

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Die Kurve ist doch spiegelsymmetrisch. Also kannst Du, was Du "von links" mit der roten und lila Fläche gemacht hast, auch "von rechts" mit der blauen und lila Fläche tun und ein z erhalten.

19.01.2014, 11:42

mathenoobie_alsgast

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Hallo, sorry dass ich jetzt erst antworte, ich kam nicht dazu!

Also ich sitz jetzt wieder dran und ich komm immer noch nicht drauf. Das was man auf der Zeichnung sieht habe ich ja angewandt und zwar ist F(426)=1-0,7580=0,242.

Mein Problem ist jetzt dass ich nicht weiß für welches z oder u oder wie auch immer man den (x-my)/sigma ausdruck nennt phi = 0,242 ist. Wie kann ich das an dieser Grafik ablesen ?

20.01.2014, 08:44

Steffen Bühler

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Nein, die Frage ist doch immer: "wieviel Standardabweichungen ist der Wert vom Mittelwert entfernt?" Das ist für micht zumindest immer etwas anschaulicher.

Für 470 war das leicht: die Fläche war 0,9332 - also 1,5 Standardabweichungen nach rechts. Das hast Du auch prima hingekriegt.

Jetzt zäumen wir das Pferd von hinten auf. Die Fläche 0,7580 würde, von links gesehen, wieviel Standardabweichungen nach rechts entsprechen? Nun, da wir nun von rechts kommen, sind das also soviel Standardabweichungen nach links!

Bei welchem z-Wert landest Du dann also?

Viele Grüße
Steffen

22.01.2014, 17:01

mathenoobie_alsgast

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Okay also 0,7580 ist von links kommend die Fläche unter der Glocke von minus unendlich bis 0,7 Standardabweichung rechts von Erwartungswert.

Soweit richtig? Und da sie spiegelsymmetrisch ist bekomme ich von rechts kommend also den das z 0,7 Standardabweichungen links vom Erwartungswert. Das ist dann bei X=426. Und von minus unendlich bis zu X=426 ist die Fläche ja 1-0,7580, also 0,2420.

Also ist $\begin{eqnarray*} 0,2420= \frac{/micro - 0,7}{/sigma} \end{eqnarray*}$ ??

Das habe ich dann mit dem $\begin{eqnarray*} 1,5= \frac{470- /micro }{/sigma} \end{eqnarray*}$ gleichgesetzt und aufgelöst aber es kam wieder nur Mist raus unglücklich

(Irgendwie steht da Undefined Control sequence wenn ich die \ anstatt / vor micro bzw sigma setzen wollte)

Es heißt ja auch nicht micro, sondern mu, wie Du meiner Antwort entnehmen kannst. Mit sigma sollte es allerdings klappen. Steffen

22.01.2014, 17:07

HAL 9000

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Die Symmetrie der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ der Standardnormalverteilung sollte man schon kennen, wenn man nur auf tabellierte Werte für nichtnegative Argumente $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ zurückgreifen kann:

Es ist $\begin{eqnarray*} \Phi(-z) = 1-\Phi(z) \end{eqnarray*}$ , d.h. für die zugehörigen Quantile $\begin{eqnarray*} z_{\alpha} \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} z_{\alpha} = -z_{1-\alpha} \end{eqnarray*}$

In deinem Fall $\begin{eqnarray*} \alpha=0.242 \end{eqnarray*}$ ist demnach $\begin{eqnarray*} z_{0.242} = -z_{1-0.242} = -z_{0.758} \end{eqnarray*}$

22.01.2014, 17:50

mathenoobie_alsgast

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Also z (oder eben u)= - 0,7 ??

$\begin{eqnarray*} 0,7= \frac{426- /micro}{/sigma} \end{eqnarray*}$

Das gleichsetzen mit

$\begin{eqnarray*} 1,5= \frac{470- /micro }{/sigma} \end{eqnarray*}$

und es kommt My= 387,5 raus, wieder falsch unglücklich

22.01.2014, 21:01

HAL 9000

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Weil dein Kurzzeitgedächtnis offenbar nicht vorhanden ist: Wohin ist denn das negative Vorzeichen verschwunden, über das wir gerade eben noch gesprochen haben??? Forum Kloppe

Also: Es ist $\begin{eqnarray*} z_{0.242} = -z_{0.758} \approx -0.7 \end{eqnarray*}$ und demnach lautet die erste Gleichung

$\begin{eqnarray*} {\color{red}-}0.7 = \frac{426-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ .

23.01.2014, 20:58

mathenoobie_alsgast

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Hey jetzt komm ich mir blöd vor, du hast natürlich Recht! Big Laugh

Habs endlich verstanden und hingekriegt. Rückblickend alles sehr logisch, danke für eure Geduld Steffen und HAL! smile

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