Bestimme F(e) und eine 3x3-Matrix

16.01.2014, 18:26	lanca	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme F(e) und eine 3x3-Matrix Meine Frage: es sei $\begin{eqnarray} F: \mathbb R^3 -> \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung mit $\begin{eqnarray} F\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Berechne alle $\begin{eqnarray} F(e_1) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} F(e_2) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} F(e_3) \end{eqnarray}$ und bestimme eine 3x3-Matrix A derart, dass für alle $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R^3, F(x) = Ax \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} F(e_1)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(e_2)=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(e_3)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ich hoffe das stimmt soweit?
17.01.2014, 09:30	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
In Matrixform soll gelten $\begin{eqnarray} \underbrace{\begin{pmatrix} F_{11} & F_{12} & F_{13} \\ F_{21} & F_{22} & F_{23} \\ F_{31} & F_{32} & F_{33} \end{pmatrix}}_F \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}}_A =\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{pmatrix}}_E \end{eqnarray}$ Darin ist E offenbar die Einheitsmatrix. Wendet man auf diese Matrixgleichung "von rechts" die inverse Matrix $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ an, bekommt man die Matrix $\begin{eqnarray} F=A^{-1} \end{eqnarray}$ . Dafür kann man auch schreiben $\begin{eqnarray} FE=A^{-1} \end{eqnarray}$ . Mit anderen Worten: Die gesuchten Vektoren $\begin{eqnarray} F\vec e_1, F\vec e_2, F\vec e_3 \end{eqnarray}$ sind die Spalten von $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$
18.01.2014, 20:00	lanca	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ich habe für F(e) raus: $\begin{eqnarray} F(e_1)=\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0 \\ 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(e_2)=\begin{pmatrix} 0,5 \\ -0,5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(e_3)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0,5 \\ -0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist dann nicht das, was du F genannt hast, mein A (was die Aufgabenstellung wissen will)?
19.01.2014, 20:02	lanca	Auf diesen Beitrag antworten »
oder nicht??

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