Integralrechnung: Messeraufgabe

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18.01.2014, 14:38	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung: Messeraufgabe Guten Tag: Ich habe mir die Grundlagen angeeignet und nun versuche ich Aufgaben zu lösen^^ Aufgabe: Ein Messer zum Zerteilen von Zwiebeln hat angenähert die abgebildete Form mit den Profilkurven $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{54}{x^{2}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x)=\frac{1}{24}x^{2} \end{eqnarray}$ . Wie groß ist die Querschnittsfläche des Messers? Wie schwer ist die im Durchschnitt 3 mm dicke Stahlklinge? [attach]32763[/attach] Idee: Zuerst brauche ich den Schnittpunkt der beiden Funktionen. $\begin{eqnarray} \frac{54}{x^{2}}=\frac{1}{24}x^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1=-6 \| x_2=6 \end{eqnarray}$ Jetzt kann ich die Fläche unter des Parabelsegmentes bestimmen. $\begin{eqnarray} \left(\int_0^6\frac{1}{24}x^{2} + \int_{-6}^{0}\frac{1}{24}x^{2}\right)-\left(\int_0^6\frac{54}{x^{2}}+\int_{-6}^{0}\frac{54}{x^{2}}\right)=A_\text{Messer} \end{eqnarray}$ Das ist meine Idee
18.01.2014, 15:36	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung: Messeraufgabe Hallo, eine wichtige Angabe fehlt noch in Deiner Aufgabe: Wie "hoch" soll denn die Klinge des Messers sein? Doch wohl nicht unendlich (wegen f(0)=unendlich), mit so einem Messer könnte doch niemand Zwiebeln schneiden. Schau mal, ob Du dazu in der Aufgabe irgendeine Information findest. Zu Deiner Idee: Die ist im Ansatz gut. Natürlich ist sie noch verbesserungswürdig, aber dazu kommen wir dann später. Zuerst brauchen wir noch die Info zur Höhe der Klinge oder etwas Vergleichbares, dann können wir mit der Lösung loslegen.
18.01.2014, 15:42	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Höhe müsste sich bei $\begin{eqnarray} f(2) \end{eqnarray}$ befinden. $\begin{eqnarray} y=13,5 \end{eqnarray}$ Wie kann ich die Höhe miteinbeziehen? also kommt bei y=13,5 eine horinzontale Gerade
18.01.2014, 15:54	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung: Messeraufgabe Gut. Ich hab's nachgerechnet, f(2)=13.5 paßt. Die Höhe müssen wir unbedingt miteinbeziehen, weil sonst Fläche und auch die Masse des Messers unendlich groß würden. Es wäre dann nämlich $\begin{eqnarray} \int_{-6}^0 \! \frac{54}{x^2} \, dx + \int_0^6 \! \frac{54}{x^2} \, dx = \infty + \infty = \infty \end{eqnarray}$ Wie das genau geht, zeige ich Dir in ein paar Minuten. Ich fummle mal eine Grafik zurecht, das dauert ein bischen.
18.01.2014, 16:12	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
ok
18.01.2014, 16:26	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung: Messeraufgabe So, bin wieder da. Also, wir betrachten nur den Teil rechts der y-Achse (können wir wegen der Symmetrie tun). Die Klinge wird hier in zwei Abschnitte unterteilt: Abschnitt 1 von 0 bis 2, und Abschnitt 2 von 2 bis 6. Dann erhalten wir: $\begin{eqnarray} A_1=\int_0^2 \! \left[ 13,5-g(x) \right] \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_2=\int_0^2 \! \left[ f(x)-g(x) \right] \, dx \end{eqnarray}$ So, jetzt muß ich noch die Grafik einkleben (hoffentlich klapp das, mach das zum ersten Mal)
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18.01.2014, 16:31	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung: Messeraufgabe So, und jetzt kommt Dein Teil: Funktionen einsetzen, dann die Stammfunktionen rauskriegen und zum Schluß die Integrationsgrenzen einsetzen. Weißt Du, wie das geht?
18.01.2014, 16:34	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left(\int_0^{2}13,5dx+\int_{-2}^{0}13,5dx\right)-\left(\int_0^2\frac{1}{24}x^{2}dx + \int_{-2}^{0}\frac{1}{24}x^{2}dx\right)+\left(\int_2^6\frac{1}{24}x^{2}dx + \int_{-6}^{-2}\frac{1}{24}x^{2}dx\right)-\left(\int_2^{6}\frac{54}{x^{2}}dx+\int_{-6}^{-2}\frac{54}{x^{2}}dx\right)=\|A_\text{Messer}\| \end{eqnarray}$ So pls ist das richtig?^^
18.01.2014, 16:56	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja?
18.01.2014, 16:57	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung: Messeraufgabe Puuuuuh, das is ja mal 'ne Formel. Und die ist fast richtig. Beachte bitte folgende Kleinigkeit. Subtrahiere $\begin{eqnarray} immer \end{eqnarray}$ die "kleinere" von der "größeren" Funktion. Also: vor beide Klammern mit den 1/24 x² gehören Minuszeichen und vor die Klammer mit dem 54/x² ein Plus. Wenn Du die Zeichen änderst, dann geht Dein Plan auf!! Der klappt!! Ich würde sagen, Du ziehst Deinen Plan jetzt durch und schreibst mir dann Dein Ergebnis. Und erst danach zeig ich Dir, wie's auch schneller geht. Ok?
18.01.2014, 17:06	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Komme auf A=12 oder A = 97,77
18.01.2014, 17:10	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung: Messeraufgabe Ich nicht. Und mein Taschenrechner auch nicht. Wie sehen denn Deine Stammfunktionen aus?
18.01.2014, 17:19	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktionen: $\begin{eqnarray} F(x)=\frac{x^{3}}{72} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_{2}(x)=\frac{27 \cdot x^{4}}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_{3}(x)=13,5 \cdot x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(54\right)-\left(\frac{2}{9}\right)=\frac{484}{9} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(36\right)-\left(\frac{52}{9}\right)=\frac{272}{9} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A= \frac{484}{9}+\frac{272}{9}=84 FE \end{eqnarray}$ Soo^^
18.01.2014, 17:34	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung: Messeraufgabe Die Stammfunktion F2 ist nicht korrekt. Tip: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{54}{x^2} \, dx = \int \! 54x^{-2} \, dx \end{eqnarray}$ Und jetzt mit der Potenzregel arbeiten. Hattest Du denn auch die +/-Zeichen in Deiner Formel korrigiert?
18.01.2014, 17:36	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} F_2(x)=\frac{-54}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=84 FE \end{eqnarray}$ Edit sry^^
18.01.2014, 17:46	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung: Messeraufgabe Moment mal, seh ich ja erst jetzt: Du hast 84 FE herausbekommen. Das ist richtig. Ist das jetzt der reine Zufall? (rätsel rätsel ) Ich finde, Du hast sehr gut gerechnet. Lernst Du die Integralrechnung im Selbststudium (wegen Deiner kuriosen Formel, die ist zwar ziemlich kompliziert, aber völlig korrekt). Bitte nicht mißverstehen, ich meine das als Lob.
18.01.2014, 17:54	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Gibt es einen einfacheren Weg ? Ich gehe noch zur Schule. Ich habe mich mit den Grundlagen der Integralrechnung beschäftigt und nun versuche ich einige Anwendungsaufgaben zu lösen. Muss ich bei Aufgabe B nur die Querschnittsfläche mit 3 mm multiplizieren und dann mit der Formel: $\begin{eqnarray} m=p \cdot V \end{eqnarray}$ die Masse bestimmen ? $\begin{eqnarray} p=7,87 \frac{g}{cm^{3}} \end{eqnarray}$ Nur stelle ich mir eine Frage. Welche Einheit habe ich für den Flächeninhalt ?
18.01.2014, 18:18	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung: Messeraufgabe Zur ersten Frage: Ja, es gibt einen einfacheren Weg. Den wolte ich Dir aber nicht gleich aufzwingen (wegen der Didaktik). Du solltest erstmal Deinem eigenen Plan folgen, der war ja auch ganz gut. Wenn Du möchtest, kann ich Dir den anderen Weg zeigen (geht aber nicht jetzt sofort, ich muß nämlich jetzt los, bischen arbeiten, seufz). Bin so gegen neun wieder da, dann kanns weitergehen, sonst morgen oder so. (Achte auf e-Mails vom Matheboard). Zu Frage zwei: Genauso mußt Du vorgehen, aus der Querschnittsfläche das Volumen berechnen (also mal 3mm) und dann das Gewicht mit $\begin{eqnarray} \rho \cdot V \end{eqnarray}$ ermitteln. Bei der Flächenberechnung war ja unsere Einheit FE. Wenn in der Aufgabe keine Angabe für Längen oder Flächen steht, würd ich einfach 1 FE = 1 cm² setzen. p.s. Bleib weiter am Ball. In Integralrechnung wirst Du noch richtig gut. So, jetzt geh ich offline, bis die Tage oder so...
18.01.2014, 18:19	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Du hast mir sehr geholfen Schönen Abend
18.01.2014, 21:53	Count von Count	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung: Messeraufgabe Hallo L'amour, so machen's die Profis. Achtung, guck gut hin. Wie gesagt, man betrachte nur den Teil rechts der y-Achse: $\begin{eqnarray} A_1=\int_0^2 \! \left( 13,5-\frac{x^2}{24} \right) \, dx = \left[ 13,5x-\frac{x^3}{72} \right]_0^6 = \frac{242}{9} \end{eqnarray}$ (Anmerkung: die Null brauchst Du gar nicht groß durchzurechnen, Ergebnis ist sowieso wieder Null) $\begin{eqnarray} A_2=\int_2^6 \! \left( \frac{54}{x^2}-\frac{x^2}{24} \right) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{72}- \frac{54}{x} \right]_2^6 = \frac{136}{9} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_1+A_2=\frac{242+136}{9}=42 \end{eqnarray}$ Und wegen der Symmetrie: $\begin{eqnarray} A_{ges}=2 \cdot 42 =84 \end{eqnarray}$ Fertig. Nun, ging das schneller? Bleib weiter am Ball und lern von den Profis. Du hast den Bogen bald raus. Alles Gute
18.01.2014, 22:24	Bonheur	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe das So geht das viel schneller und die Wahrscheinlichkeit ein Fehler zu machen, sinkt dadurch drastig ab. Vielen Dank ))))))

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