Dichtefunktion bei Berechnung von mittlerer Leistung

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Spyro Auf diesen Beitrag antworten »
Dichtefunktion bei Berechnung von mittlerer Leistung
Meine Frage:
Hallo an Alle,

es geht um stochastische Signale und Systeme, spezieller um die Berechnung der mittleren Leistung. Allgemein gilt doch:


Wenn ich nun Aufgaben rechne und muss beispielsweise die mittlere Leistung berechnen, dann müsste mein Integral doch folgendermaßen aussehen:


In den ganzen Lösungen wird hier die Dichte aber meist immer weggelassen, d.h. das Integral vereinfacht sich zu:


Mir soll das Recht sein, muss ich mir nicht die Dichtefunktion herleiten smile

Aber warum ist das so?
Bei normalen ZVen muss ich doch auch die Dichte wissen, damit ich das Integral bilden kann. Ist das eine spezielle Eigenschaft von stationären Zufallsprozessen, die ich gerade nicht vor Augen habe? Oder woran liegt das?

Gruß,
Spyro

Meine Ideen:
siehe Frage.


LaTeX-Tags hinzugefügt. Steffen
Vielen Dank! Hab etwas gebraucht, bis ich kapiert habe, wie ich mich einloggen kann smile Spyro

Gern geschehen und "welcome on board"! Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Spyro
In den ganzen Lösungen wird hier die Dichte aber meist immer weggelassen, d.h. das Integral vereinfacht sich zu:

Du scheinst da einiges durcheinanderzubringen: Vermutlich wird hier nicht über , sondern über die Zeit integriert. Und da auch nicht über ganz , sondern nur über ein Intervall (etwa eine Periode bei periodischen Signalen). Und das muss dann auch noch gemäß der Intervalllänge normiert werden, d.h.

.

Für den inhaltlichen Zusammenhang derartiger zeitlicher Mittelwerte zu stochastischen Erwartungswerten muss man ganz schön ausholen...
Spyro Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Fehler, habe die Formeln nicht richtig geschrieben...
Sollte eigentlich heißen:







Und jetzt kapiere ich erstmal, was du geschrieben hast smile
Spyro Auf diesen Beitrag antworten »

Zusatzinfo:
Es geht um stationäre Zufallsprozesse, d.h.

und


Wenn ich die Erwartungswerte über ein zeitliches Intervall betrachte, bekomme ich die Schätzwerte, kapiert smile

Bleibt noch die Frage offen, wieso die W'keitsdichte wegfällt.

Vielen Dank schonmal soweit!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich noch mehr verwirrt, es geht dir also doch nicht um zeitliche Mittelwerte. Also nochmal von vorn:



Du hast ein Signal zum Zeitpunkt , welches zufällig ist - d.h. in der Terminologie der Stochastik eine Zufallsgröße . Deren Dichte scheint wohl bei dir durch gegeben zu sein, d.h. es ist

.

Dann ist der Erwartungswert

,

also im Integral, nicht - das gibt es nämlich gar nicht!!!

Genauso dann bei irgendwelchen Funktionen dieser Zufallsgröße, d.h.

,

wie z.B. im Fall von dann die Formel

.

Aber "weglassen" des würde einer Dichte für alle x entsprechen - das widerspricht eklatant der Normierungsforderung , d.h. irgendwas scheinst du da schon wieder zu verwechseln. unglücklich
Spyro Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, tausend Dank für die ausführliche Antwort!
Ich merke auch gerade selbst, dass irgendwas bei mir nicht so ganz stimmen kann...
Ich versuch mal etwas drüber zu grübeln, was ich da durcheinander bringe!
 
 
Spyro Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm.. ich habe irgendwo einen Denkfehler gemacht, oder mal was falsch aufgeschrieben. Auf jeden Fall finde ich nichts derartiges, was in meinem Kopf steckt, was mit der stochastischen Sichtweise auf Signale und Systeme zusammenpasst.

Meine Grundannahme war die AKF eines Signals. Ich hatte irgendwie im Kopf rumgeistern, dass die AKF eines Signals folgendermaßen berechnet wird:

aber hier fehlt die Dichte...
Ich denke, deswegen war ich etwas verwirrt. Und bin es immer noch ein bisschen. Mal ne Nacht drüber schlafen, vielleicht kommt dann der zündende Gedanke, oder jemand hier klärt mich auf smile

Also sehe ich das richtig?
Wenn ich ein Signal habe gibt es zwei Arten den Mittelwert zu berechnen:

1) Allgemein über die W'keitsdichte:
2) Bei periodischen Funktionen auf das Intervall [-T,T] beschränkt über:
Spyro Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht kann ja mal jemand in folgenden Wikipedia-Eintrag schauen und mir da den Unterschied zwischen der Definition im Kapitel "Autokorrelation in der Signalverarbeitung" und im Kapitel "AKF und Periodizitäten" erklären.

http://de.wikipedia.org/wiki/Autokorrelation
Spyro Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage, ob ich das richtig sehe steht noch aus.

Bzgl. AKF habe ich ein neues Thema eröffnet, damit das getrennt voneinander abläuft: wahre Definition der Autokorrelationsfunktion?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie klemmt es immer noch am grundsätzlichen:

Wenn ich oben von den Zufallsgrößen spreche, dann ist das eigentlich eine Funktion



also mit zwei Argumenten: Das erste ist die Zeit, das zweite das den Zufall beschreibende Elementarereignis.


Normalerweise ist es Konvention, mit Erwartungswert immer nur die "Mittelung" über den Zufall zu kennzeichnen, nicht aber die Mittelung über die Zeit, weswegen ich diese Zeile hier

Zitat:
Original von Spyro

höchst befremdlich finde. Noch dazu ist die Normierung im Nenner falsch, die sollte der Intervalllänge entsprechen, also mit meiner Terminologie geschrieben

.

Dies geschieht bei festem (!) , d.h. der Term (*) kennzeichnet den zeitlichen Mittelwert einer konkreten Trajektorie (Pfad) im Intervall , ist demnach selbst eine Zufallsgröße.

Ganz im Gegensatz dazu steht



(siehe oben), dies ist eine Mittelung über den Zufall an einem festem Zeitpunkt .


Es wäre wüschenswert, wenn du dir mal sorgfältig überlegst, was du da eigentlich betrachten willst, was und worüber du da mittelst - ansonsten drehen wir uns hier weiter im Kreis, ohne auch nur einen Schritt voranzukommen. unglücklich



Zur AKF: Bei einem stochastischen Prozess wie obigem versteht man zunächst unter der Autokovarianzfunktion

.

Mit der Dichte allein lässt sich dies nicht berechnen, man benötigt die gemeinsame Dichte von und . Wenn wir die z.B. mal nennen, dann ist für

.

Für die Autokorrelationsfunktion wird das ganze noch normiert, indem man den Autokovarianzwert durch die Standardabweichungen an den Zeitpunkten und dividiert, d.h.

.

Dabei ist zu beachten, dass



ist.


Bei (zeitlich) stationären Prozessen ist nun konstant (d.h. von unabhängig) und sowie nur von der zeitlichen Differenz abhängig.



Das ist soweit zusammengefasst die stochastische Auffassung der AKF.


Wie hier beschrieben, gibt es auch noch eine andere Auffassung der AKF für nichtzufällige, nicht stationäre Signale , wo es (bei allen Gemeinsamkeiten) beträchtliche inhaltliche Unterschiede zur stochastischen Auffassung gibt. Deine Versuche, dass hier zusammenzumengen, sind m.E. wenig sinnvoll, solange du dir nicht voll über die Grundlagenzusammenhänge im klaren bist.
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