Muss Determinante zur Bestimmung des charakteristischen Polynoms immer Null werden?

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xBastix Auf diesen Beitrag antworten »
Muss Determinante zur Bestimmung des charakteristischen Polynoms immer Null werden?
Meine Frage:
Hallo,

ich hab gerade ein paar Prüfungsprotokolle durch geblättert und bin auf folgende Frage gestoßen:

"Muss die Determinate zur Bestimmung des charakteristischen Polynoms 0 werden? Wenn nicht, warum?"

Die Frage impliziert recht stark, dass zur Bestimmung des charakteristischen Polynoms die Determinate nicht Null sein muss, aber ich verstehe nicht warum dem so ist.

Meine Ideen:
Ich meine bei der Herleitung des charakteristischen Polynoms geh ich doch von der Eigenwert/-vektorgleichung aus. Also

Sei ; und . Dann gilt:



Da es sich um eine lineare Abbildung handelt und per Definition des Eigenvektors gilt, muss und damit gilt oder anders geschrieben
Das bedeutet aber das A nicht vollen Rang hat und die Determinate somit Null werden muss, oder? Kann mich irgend jemand bestätigen oder eines besseren belehren?

Grüße
Sebastian
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das charakteristische Polynom einer Matrix ist doch Dessen Nullstellen sind die Eigenwerte.
Daher verstehe ich die Frage nicht. Welche Determinante soll denn da 0 werden?
xBastix Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Nick,

danke schon mal fürs Anworten.

Also nach dem Rainer Wüst (unser Standartwerk) wird das so definiert. Und naja die Nullstellen erhalte ich ja eben durch nullsetzen des damit wird die Determinate genau dann Null wenn ein Eigenwert angenommen wird. Und die Frage zielt jetzt wohl darauf ab, ja impliziert, das es eben auch Möglichkeiten eines gibt bei dem dieses nicht gleich null ist. Und da komm ich nicht weiter.

Grüße
Sebastian
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Muss Determinante zur Bestimmung des charakteristischen Polynoms immer Null werden?
Zitat:
Original von xBastix
Also nach dem Rainer Wüst (unser Standartwerk) wird das so definiert.

Ja, da hast du Recht. Ich hatte oben Unsinn geschrieben. Ist schon geändert. Augenzwinkern


Zitat:
Original von xBastix
"Muss die Determinate zur Bestimmung des charakteristischen Polynoms 0 werden? Wenn nicht, warum?"

Ist das wirklich die komplette Aufgabenstellung? Wenn nicht, poste nochmal die vollständige Frage.

Welche Determinante soll denn da 0 werden? Die Determinante von A? Oder die Determinante von ? verwirrt
So richtig kann ich damit immer noch nichts anfangen. Zur Bestimmung des charakteristischen Polynoms muss jedenfalls keine Determinante 0 werden.
xBastix Auf diesen Beitrag antworten »

Jopp das ist die ganze Frage. Ich versteh auch wo das Verständisproblem liegt, ich habs ja auch Big Laugh

ich kann mir vorstellen dass wenn man sich die Herleitung des CharPolynoms anschaut (wie in meinem ersten Post) dann sieht man das man die Determintate von zur Hilfe zieht um zu überprüfen wann der Kern der Abbildung nicht leer ist, denn dann gilt ja und ich denke die Frage zielt darauf ab ob man auch dann eine CharPolynom zur Eigenwert bestimmung erhält wenn die Determinate ungleich 0 gesetzt ist.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke mal, dieses "wenn nicht, warum?" soll euch nur aufs Glatteis führen, damit ihr euch solche Fragen stellt wie du. Die Begründung, warum die Determinante sein muss, hast du ja schon geliefert.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Muss Determinante zur Bestimmung des charakteristischen Polynoms immer Null werden?
Zitat:
Original von xBastix
Das bedeutet aber das A nicht vollen Rang hat und die Determinate somit Null werden muss, oder? Kann mich irgend jemand bestätigen oder eines besseren belehren?

Grüße
Sebastian


A kann sehr wohl vollen Rang haben. Zum Beispiel A=E die Einheitsmatrix hat den Eigenwert 1.
kann nicht vollen Rang haben und das stimmt mit dem Verschwinden der Determinante von überein. Das hast du ja alles richtig erkannt und begründet.
xBastix Auf diesen Beitrag antworten »

War ein Tippfehler ich meinte den Rang von smile

Danke für die Hilfe!
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