Zwei regelmäßige Würfel

21.01.2014, 13:34

King_Jigga

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Zwei regelmäßige Würfel

Hallo hab mal kurz ne Frage:
Kommt mir etwas einfach vor verwirrt

verwirrt

Zwei regelmäßige Würfel werden gleichzeitig geworfen.
Folgende Ereignisse:

A = "beide Würfel zeigen dieselbe Augenzahl"
B = "die Summe der Augenzahlen ist größer gleich 7 und kleiner gleich 10"
C = "die Summe der Augenzahlen ist 2 oder 7 oder 8"

Mein Vorschlag:

$\begin{eqnarray*} P(A)= \frac{6}{36} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(B)= \frac{10}{36} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(C)= \frac{7}{36} \end{eqnarray*}$

Habe jetzt mal absichtlich die Brüche nicht gekürzt...

Nun soll ich zeigen dass gilt $\begin{eqnarray*} P(A\cap C)= P(A)*P(C) \end{eqnarray*}$

Mein Vorschlag : $\begin{eqnarray*} P(A| C)= P(A) \end{eqnarray*}$
daraus folgt ja dann $\begin{eqnarray*} P(AC)= P(A)*P(C) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B \cap C)= P(A)*P(B)*P(C) \end{eqnarray*}$

Ist die Familie {A, B. C } unabhängig?

21.01.2014, 13:38

HAL 9000

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P(A) ist richtig, aber bei den anderen beiden hast du dich aber ziemlich verzählt.

21.01.2014, 13:43

King_Jigga

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Ok danke schon mal:

Ich habe doch für B

Die Pärchen (1,6), (2,5),(3,4) ,(2,6), (3,5), (4,4), (3,6), (5,4), (5,5), (6,4)

bei C wären es die Pärchen:

(1,1), (6,1). (5,2), (3,4). (6,2), (5,3), (4,4)

verwirrt

verwirrt

21.01.2014, 13:45

HAL 9000

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Und du meinst, die erste Augenzahl darf nicht größer als die zweite sein, also z.B. bei B

(6,1) , (5,2) usw.

Oder warum zählst du die nicht mit? Bei den 36 Gesamtvarianten werden die ja schließlich auch beachtet!!!

21.01.2014, 13:50

King_Jigga

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Also gilt dann für P(B)= 18 / 36

und für P(C) = 12 / 36

stimmts so??

Nein ich habe nur die Pärchen AUFGEZÄHLT so dass gilt

7<= Pärchen <=10 dass muss doch für B gelten

21.01.2014, 14:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von King_Jigga
Also gilt dann für P(B)= 18 / 36

und für P(C) = 12 / 36

Ja, so stimmt es.

Zitat:

Original von King_Jigga
Nein ich habe nur die Pärchen AUFGEZÄHLT so dass gilt

7<= Pärchen <=10 dass muss doch für B gelten

Worauf bezieht sich dein "Nein" ? verwirrt

verwirrt

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21.01.2014, 14:12

King_Jigga

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Die Pärchen für 7 ist (2,5),(6,1), (5,2)
..................für 8 ist(3,4), (4,3),(6,2) ,(2,6), (3,5),(5,3) C
.................für 9 ist (3,6), (6,3),(4,5)(5,4),
.................für 10 ist (5,5), (6,4), (4,6)

Wie kann ich den ein Pärchen doppelt zählen wenn ich die Würfel gleichzeitig würfel..? verwirrt

verwirrt

wie z.Bsp: (3,4), (4,3)
Ich weiss doch gar nicht welche Zahl zuerst kommt;
da ja die Würfel gleichzeitig "fallen"?

Das war mein Fehler weil bei dem Pärchen (4,4) zähl ich es ja auch nicht doppelt? verwirrt

verwirrt

21.01.2014, 14:15

HAL 9000

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Wenn der erste Würfel 3 und der zweite 4 zeigt, dann ist das eine andere Augenkombination als wenn der erste Würfel 4 und der zweite 3 zeigt!!!

Bei (4,4) ist das dagegen dieselbe Kombination, also greift deine Begründung nicht.

Und für die Zufallsberechnung spielt es keine Rolle, ob du die Würfel optisch unterscheiden kannst oder nicht: Der Zufall kann es, und macht es auch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.01.2014, 14:20

King_Jigga

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Also ich verstehs schon aber irgendwie auch nicht::
Es heisst ja schließlich gleichzeitig !!!

Was mach ich den wenn die Würfel dann nacheinander geworfen werden,
Dann gibt es ja keine doppelte Pärchen wie (3,4) , (4,3) oder?? verwirrt

verwirrt

21.01.2014, 14:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von King_Jigga
Dann gibt es ja keine doppelte Pärchen wie (3,4) , (4,3) oder?? verwirrt

verwirrt

Doch, wieso nicht? Die erste Zahl kennzeichnet die Augenzahl des ersten Wufes, die zweite Zahl die des zweiten Wurfs - natürlich gibt es da beide Varianten!

Ketzerische Frage: Wenn du nur Paare "erste Augenzahl < zweite Augenzahl" zulässt, wieso arbeitest du dann mit $\begin{eqnarray*} 6^2 = 36 \end{eqnarray*}$ Gesamtpaaren im Nenner, wo es doch insgesamt nur 21 solche Paare gibt???

21.01.2014, 14:26

King_Jigga

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Super danke....
Jaaa jetzt hast du mich erwischt, werde mir nochmal genau alles durchlesen...
Jetzt soll ich noch folgendes zeigen

Nun soll ich zeigen dass gilt $\begin{eqnarray*} P(A\cap C)= P(A)*P(C) \end{eqnarray*}$

Mein Vorschlag : $\begin{eqnarray*} P(A| C)* P(C)= P(A)*P(C) \end{eqnarray*}$ daraus folgt ja dann
$\begin{eqnarray*} P(A| C)= P(A) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B \cap C)= P(A)*P(B)*P(C) \end{eqnarray*}$
Kein Vorschlag

Ist die Familie {A, B. C } unabhängig?[/quote]

21.01.2014, 14:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von King_Jigga
Mein Vorschlag : $\begin{eqnarray*} P(A| C)* P(C)= P(A)*P(C) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf, dass diese Gleichung gelten könnte?

Nein, mach dir zunächst klar, was $\begin{eqnarray*} A\cap C \end{eqnarray*}$ inhaltlich bedeutet:

beide Würfel zeigen dieselbe Augenzahl UND die Summe der Augenzahlen ist 2 oder 7 oder 8

Das heißt vereinfacht was?

21.01.2014, 14:46

King_Jigga

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$\begin{eqnarray*} P(A\cap B \cap C)= P(A)*P(B)*P(C) \end{eqnarray*}$
Kein Vorschlag

Ist die Familie {A, B. C } unabhängig?[/quote]

Mein Vorschlag:

Setze $\begin{eqnarray*} D: A\cap B \end{eqnarray*}$

Dann Folgt $\begin{eqnarray*} P( D \cap C)= P(A)*P(B)*P(C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A)*P(B)*P(C)=\frac{1}{36} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P( D \cap C)= \frac{1}{18} * \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

das heisst sie sind Stochastik abhängig da gilt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{36} \neq \frac{1}{18} * \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

21.01.2014, 14:56

HAL 9000

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immer derselbe Unsinn
Vielleicht liest du dir mal das hier durch. Und erst dann reden wir weiter.

21.01.2014, 17:16

King_Jigga

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RE: immer derselbe Unsinn
Ich glaub ich habs jetzt verstanden. Es müsste dann so aussehen.

$\begin{eqnarray*} P( A \cap C)= P(A)*P(C) \end{eqnarray*}$
dann folgt für $\begin{eqnarray*} P( A \cap C)= \frac{2}{36} \end{eqnarray*}$ da diese das Pärchen (4,4),(1,1) enthalten.
$\begin{eqnarray*} P(A)*P(C) =\frac{1}{6}* \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

für das hier gilt dann

$\begin{eqnarray*} P( A \cap B \cap C)= P(A)*P(B)*P(C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P( A \cap B \cap C)= \frac{1}{36} \end{eqnarray*}$ da diese das Pärchen (4,4) enthalten
$\begin{eqnarray*} P(A)*P(B)*P(C) = \frac{1}{6} *\frac{1}{2}* \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

So müsste es jetzt stimmen??

21.01.2014, 17:33

HAL 9000

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Naja, ich würde es unmissverständlicher formulieren, d.h. in eine logisch klare Reihenfolge bringen, etwa so:

Zitat:

Es ist $\begin{eqnarray*} P( A \cap C)= \frac{2}{36} \end{eqnarray*}$ da diese das Pärchen (4,4),(1,1) enthalten.

Und es ist $\begin{eqnarray*} P(A)*P(C) =\frac{1}{6}* \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ mit den Ergebnissen von oben.

Daher ist $\begin{eqnarray*} P( A \cap C)= P(A)*P(C) \end{eqnarray*}$ und folglich gemäß Definition $\begin{eqnarray*} A,C \end{eqnarray*}$ unabhängig.

Wenn du nämlich die Erläuterungen kommentarlos mit

$\begin{eqnarray*} P( A \cap C)= P(A)*P(C) \end{eqnarray*}$

einleitest, dann weiß ich nicht so richtig, was ich davon halten soll: Ist das eine Feststellung, will er das jetzt beweisen, oder wie, oder was?

Mathematik besteht nicht nur aus Formeln, gelegentlich muss man auch ein paar Worte dazu sagen, in welchem Kontext bzw. logischen Zusammenhang man sie gerade verwendet.

21.01.2014, 17:54

King_Jigga

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Super vielen dank.

Du hast natürlich recht, war alles etwas durcheinander formuliert.
Ich werde es nochmal sauber aufschreiben und wenn ich fragen habe, werde ich mich ggf. nochmal melden.

Auf dieses hier bist du aber gar nicht draufeingegangen:

$\begin{eqnarray*} P( A \cap B \cap C)= P(A)*P(B)*P(C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P( A \cap B \cap C)= \frac{1}{36} \end{eqnarray*}$ da diese das Pärchen (4,4) enthalten
$\begin{eqnarray*} P(A)*P(B)*P(C) = \frac{1}{6} *\frac{1}{2}* \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Das ist dann auch stochastisch unabhängig ??!!
also beide Sachen wie ich vorher gezeigt habe??

Schreibweise muss besser werden, aber so inhaltlich stimmt es doch... smile

smile

21.01.2014, 18:04

HAL 9000

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Die Rechnung ist richtig, es folgt also auch hier

$\begin{eqnarray*} P( A \cap B \cap C)= P(A)*P(B)*P(C) \end{eqnarray*}$

Aber: Daraus folgt (noch?) nicht, dass $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ unabhängig sind - schau dir nochmal genau an, welche Bedingungen für die Unabhängigkeit von mehr als zwei Ereignissen gestellt werden! Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.01.2014, 18:08

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn du nämlich die Erläuterungen kommentarlos mit

...

einleitest, dann weiß ich nicht so richtig, was ich davon halten soll: Ist das eine Feststellung, will er das jetzt beweisen, oder wie, oder was?

Mathematik besteht nicht nur aus Formeln, gelegentlich muss man auch ein paar Worte dazu sagen, in welchem Kontext bzw. logischen Zusammenhang man sie gerade verwendet.

[OT]

!!! Freude

Freude

!!!

Was rede ich an meine Schüler heran! Aber sie tun es einfach nicht. Jedenfalls die übergroße Mehrheit. Formelsalat kreuz und quer - mit lauter fehlenden Bezügen. Keine Texte. Keine Kommentare. Es ist zum Heulen ...

[/OT]

21.01.2014, 18:43

HAL 9000

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Übrigens finde ich diese Aufgabe hier zum Thema "Unabhängigkeit von mehr als zwei Ereignissen" richtig gut konstruiert, besonders in ihrem suggestiven Aufbau

"A,C sind unabhängig, jetzt nehmen wir noch das B hinzu ..." Big Laugh

Big Laugh

21.01.2014, 21:41

King_Jigga

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Also wenn ich das richtig verstanden habe muss ich diese Gleichungen zeigen:
Wobei ich die 1 Gleichung schon gezeigt habe.
Dann müssten A,B,C stochastisch unabhängig sein ??

Ich wollte das Komplement machen, hab dafür dann die Vektoreschreibweise verwendet, weil ich es anders nicht ganz geklapppt hat.

$\begin{eqnarray*} P( A \cap B \cap C)= P(A)*P(B)*P(C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P( \vec{A} \cap B \cap C)= P(\vec{A})*P(B)*P(C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P( \vec{A} \cap \vec{B} \cap \vec{C})= P(\vec{A})*P(\vec{B})*P(\vec{C} ) \end{eqnarray*}$

Bin ich auf dem richtigen Weg??

Ansonsten brauche ich Hilfe, habe nichts besseres gefunden

smile

smile

21.01.2014, 21:50

HAL 9000

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Naja, streng genommen lautet die Definition so:

Für jede endliche Auswahl der Ereignisse muss die entsprechende Formel "Wahrscheinlichkeit Durchschnitt = Produkt Einzelereigniswahrscheinlichkeiten" gelten.

Im Klartext heißt das hier, dass folgende Formeln überprüft werden müssen:

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B\cap C) = P(A)\cdot P(B)\cdot P(C) \end{eqnarray*}$ ... hast du nachgewiesen.

$\begin{eqnarray*} P(A\cap C) = P(A)\cdot P(C) \end{eqnarray*}$ ... hast du auch nachgewiesen.

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray*}$ ... noch offen.

$\begin{eqnarray*} P(B\cap C) = P(B)\cdot P(C) \end{eqnarray*}$ ... noch offen.

Sobald auch nur eine dieser Gleichungen nicht stimmt, ist die Unabhängigkeit nicht erfüllt.

21.01.2014, 21:57

King_Jigga

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ok habs gleich mal versucht:

Diese Gleichung ist ja offensichtlich nicht erfüllt $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray*}$ ...

21.01.2014, 22:00

King_Jigga

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Diese Gleichung ist auch nicht erfüllt

$\begin{eqnarray*} P(B\cap C) = P(B)\cdot P(C) \end{eqnarray*}$ ...

21.01.2014, 22:04

HAL 9000

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Ja - an sich reicht bereits eine nicht erfüllte.

Damit sind $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ nicht unabhängig.

21.01.2014, 22:09

King_Jigga

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Ich kann ja jetzt nur sagen dass die Familie {A,B,C} abhängig ist.

Jedoch ist {A,C} stochastisch unabhängig oder??

Und { A,B } und {B,C} sind wieder abhängig.

Danke für deine ausführliche Hilfe...

21.01.2014, 22:13

King_Jigga

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Zitat:

Original von HAL 9000
Übrigens finde ich diese Aufgabe hier zum Thema "Unabhängigkeit von mehr als zwei Ereignissen" richtig gut konstruiert, besonders in ihrem suggestiven Aufbau

"A,C sind unabhängig, jetzt nehmen wir noch das B hinzu ..." Big Laugh

Big Laugh

Jetzt wo ich die Aufgabe gelöst habe,
finde ich die Aufgabe sehr interessant, da ich Anfangs davon ausgegangen bin,
dass die Familie {A,B,C} unabhängig ist.

Man muss jede der Gleichungen prüfen, bis man die Abhängigkeit rausbekommt.

Vielen dank nochmals für deine Hilfe...

21.01.2014, 22:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von King_Jigga
Ich kann ja jetzt nur sagen dass die Familie {A,B,C} abhängig ist.

Jedoch ist {A,C} stochastisch unabhängig oder??

Und { A,B } und {B,C} sind wieder abhängig.

Ja, alles richtig.

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