Mittelwertsatz

21.01.2014, 20:27

Chris00

Mittelwertsatz

Ich will mithilfe des Mittelwertsatzes folgendes lösen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{ x \to \infty} x \left( 1-\cos\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$

Allerdings weiß ich nicht mehr als den Mittelwertsatz:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b - a} \end{eqnarray*}$

Die Ableitung hab ich gebildet...
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 1-cos(x^{-1})-\frac{1}{x} sin(x^{-1}) \end{eqnarray*}$

aber mehr weiß ich gerade nicht zutun... Könnt ihr mir nen Tipp geben?

Gruß

21.01.2014, 20:55

Che Netzer

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RE: Mittelwertsatz
Beachte
$\begin{eqnarray*} \frac{1-\cos y}{y}=-\frac{\cos y-\cos(0)}{y-0}\,. \end{eqnarray*}$

22.01.2014, 08:47

Chris00

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$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{(1-cosy)}{y} = ... \end{eqnarray*}$

indem man $\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ setzt.

$\begin{eqnarray*} ... = \frac{-f(0)-f(y)}{-0+y} = ... \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} f(0) = cos(0) = 1 \end{eqnarray*}$

ist das bis hierher korrekt nachvollzogen? Wenn ja, würde ich weil $\begin{eqnarray*} f(y) = cos(y) => f'(y) = -sin(y) \end{eqnarray*}$

also alles zusammen:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{(1-cosy)}{y} = \frac{-f(0)-f(y)}{-0+y} = - sin(x_0) \end{eqnarray*}$

hmm nun weiß ich allerdings noch nicht den Grenzwert, nur das er zwischen -1 und 1 liegt...

22.01.2014, 21:38

Chris00

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Kann mir keiner Helfen? smile

22.01.2014, 21:42

Che Netzer

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Das ist nicht sehr sauber aufgeschrieben.
Du wählst also $\begin{eqnarray*} f(y)=\cos y \end{eqnarray*}$ . Setzt man dann $\begin{eqnarray*} xy=1 \end{eqnarray*}$ , so erhält man
$\begin{eqnarray*} x\left(1-\cos\frac1x\right)=\frac{1-\cos y}y=-\frac{f(y)-f(0)}{y-0}\,. \end{eqnarray*}$
Nun überleg dir genau, was dir der Mittelwertsatz über diesen Ausdruck sagt.

22.01.2014, 22:11

Chris00

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Was meinst du mit $\begin{eqnarray*} xy=1 \end{eqnarray*}$

Der MWS sagt mir, da $\begin{eqnarray*} f(y)=\cos y \,\,\quad f'(y) = -\sin y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\left(1-\cos\frac1x\right)=\frac{1-\cos y}y=-\frac{f(y)-f(0)}{y-0} = -\sin x \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} x \in (0, y) \end{eqnarray*}$

22.01.2014, 22:14

Che Netzer

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Zitat:

Original von Chris00
Was meinst du mit $\begin{eqnarray*} xy=1 \end{eqnarray*}$

Genau das, was dasteht. Wir definieren $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} xy=1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x\left(1-\cos\frac1x\right)=\frac{1-\cos y}y=-\frac{f(y)-f(0)}{y-0} = -\sin x \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} x \in (0, y) \end{eqnarray*}$

Nein. Beachte die Vorzeichen.

22.01.2014, 22:24

Chris00

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wegen $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{-}\frac{f(y)-f(0)}{y-0} = \textcolor{red}{+} \sin y \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} x \in (0, y) \end{eqnarray*}$

klingt unlogisch...

22.01.2014, 22:27

Che Netzer

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Ja, für $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ gibt es tatsächlich nach dem Mittelwertsatz ein $\begin{eqnarray*} x\in(0,y) \end{eqnarray*}$ , so dass die korrigierte Gleichung gilt.
Allerdings ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bereits belegt. Was macht $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nämlich und wie verhält sich demnach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ?

22.01.2014, 22:49

Chris00

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Ich hab keine Ahnung was x macht und wie sich demnach y verhält.

Müsste man $\begin{eqnarray*} \sin k \quad k \in (0, \frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

25.01.2014, 17:26

Chris00

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Kann mir noch wer einen Tipp geben?

25.01.2014, 17:53

BigMom

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Es gilt $\begin{eqnarray*} y\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$ . Also folgt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow\infty}x(1-cos(\frac{1}{x}))=\lim_{y\rightarrow 0}-\frac{cos(y)-cos(0)}{y}=-cos'(0) \end{eqnarray*}$

29.01.2014, 15:31

Chris00

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Okay, das hab ich nu verstanden. Danke!

Nun kommt allerdings die nächste Aufgabe, die auch mit Hilfe des MWS gelöst werden will.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \cos\sqrt{x+1} - \cos\sqrt{x-1} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich hier am besten ans Werk? Wie geht ihr vor?

01.02.2014, 17:55

Chris00

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Keiner eine Idee?

01.02.2014, 19:49

BigMom

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Wir erweitern geeignet und erhalten

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\cos{\sqrt{x+1}}-\cos{\sqrt{x-1}}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}) \end{eqnarray*}$ .

Dann existiert ein $\begin{eqnarray*} \xi\in (\sqrt{x-1},\sqrt{x+1}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -\sin{\xi}=\cos'{\xi}=\frac{\cos{\sqrt{x+1}}-\cos{\sqrt{x-1}}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}} \end{eqnarray*}$ , und es folgt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-\sin{\xi}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})=-\sin{\xi}\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}=-\sin{\xi}\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$ . Der letzte Schritt bedarf man etwas Erläuterung, aber das sollte kein Problem darstellen.

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