Summenzeichen auflösen

21.01.2014, 23:10

leydecker

Summenzeichen auflösen

Meine Frage:
Guten Abend.

Ich Studiere Wirtschaftswissenschaften im dritten Semester und komme in "Schließende Statistik" nicht weiter, da sich mir einige Rechenschritte nicht erschließen.

Hier mein Schätzer: $\begin{eqnarray*} O = \frac{1}{n-3} \sum\limits_{i=2}^n X_{n-2} \end{eqnarray*}$ ACHTUNG über dem Summenzeichen muss n-2 stehen. Das klappt leider nicht mit den Formeln. Also muss es heißen "Summe von i=2 bis n-2". Im folgenden habe ich nur n geschrieben, wie gesagt muss n-2 heißen!

Step 1: Ich soll nun schauen ob mein Schätzer erwartungstreu ist, dass mache ich indem ich den Erwartungswert ausrechne.

$\begin{eqnarray*} E(O) = E(\frac{1}{n-3} \sum\limits_{i=2}^n X_{n-2}) \end{eqnarray*}$

Step 2: 1/(n-3) und das Summenzeichen rausziehen, sodass ich $\begin{eqnarray*} E(X_{n-2}) \end{eqnarray*}$ stehen habe. Das müsste nun so aussehen:

$\begin{eqnarray*} E(O) = \frac{1}{n-3} \sum\limits_{i=2}^n E(X_{n-2}) \end{eqnarray*}$

Step 3: $\begin{eqnarray*} E(X_{n-2}) \end{eqnarray*}$ entspricht q. Nun kommt mein Problem. Das Summenzeichen wird aufgelöst und folgendes kommt dabei heraus:

$\begin{eqnarray*} E(O) = \frac{1}{n-3} (n-2-1) q \end{eqnarray*}$

Step 4: q ist das Ergebnis.

Frage: Wie wird aus dem Summenzeichen denn (n-2-1) ? Es erschließt sich mir leider so gar nicht.

Kann mir wer helfen?

Lieben Gruß

Meine Ideen:
leider habe ich gar keine Ahnung. Habe versucht es auszuschreiben.. aber das hat mir auch nichts geholfen

21.01.2014, 23:27

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \sum_{i=2}^{n-2} X_{n-2} \end{eqnarray*}$

Klicke auf Zitat, um zu sehen, wie du das mit dem Summenzeichen richtig hinbekommst.

Nun, von $\begin{eqnarray*} i=1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} i=n-2 \end{eqnarray*}$ sind es $\begin{eqnarray*} n-2 \end{eqnarray*}$ Summanden. Jetzt geht es aber erst mit $\begin{eqnarray*} i=2 \end{eqnarray*}$ los, also ist es ein Summand weniger.

Wie nennt man eine Summe mit immer demselben Summanden seit der 3. Grundschulklasse? (kleine Gemeinheit am Rande)

7+7+7+7 = ?

21.01.2014, 23:41

leydecker

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Also wenn dort bspw. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=3}^{n-2} X_{n-2} \end{eqnarray*}$ würde die Klammer dann (n-2-2) sein?

Auf deine Frage würde ich jetzt spontan mit Reihe antworten! Big Laugh

21.01.2014, 23:44

Leopold

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Zitat:

Original von leydecker
Also wenn dort bspw. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=3}^{n-2} X_{n-2} \end{eqnarray*}$ würde die Klammer dann (n-2-2) sein?

Ja. Der Summationsindex $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ kommt bei den Summengliedern halt gar nicht vor. Deshalb wird die Sache hier so einfach.

21.01.2014, 23:52

leydecker

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grade das hat mich total verwirrt.
Wie würde es hier aussehen?
$\begin{eqnarray*} E(O) = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{i=0}^n E(X_{i}+2) \end{eqnarray*}$

21.01.2014, 23:55

leydecker

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$\begin{eqnarray*} E(X_{i}+2) \end{eqnarray*}$ wäre wieder q.

Danke schonmal für deine Hilfe, trotz dieser Uhrzeit smile

21.01.2014, 23:59

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \mathcal{E}(O) = \frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^{n} \mathcal{E}(X_i+2) = \frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^n \left( \mathcal{E}(X_i) + 2 \right) = \frac{1}{n+1} \cdot \left( 2(n+1) + \sum_{i=0}^n \mathcal{E}(X_i) \right) = 2 + \frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^n \mathcal{E}(X_i) \end{eqnarray*}$

Und wenn man jetzt über $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}(X_i) \end{eqnarray*}$ keine weiteren Informationen hat, geht es hier nicht weiter.

22.01.2014, 09:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Und wenn man jetzt über $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}(X_i) \end{eqnarray*}$ keine weiteren Informationen hat, geht es hier nicht weiter.

Normalerweise würde ich ja sagen:

Zitat:

Da von "Statistik" und "Schätzern" die Rede ist, kann man von einer mathematischen Stichprobe $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ ausgehen, d.h. insbesondere Unabhängigkeit und identische Verteiltheit der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ . (*)

Allerdings herrscht in den Beiträgen von leydecker ein ziemlicher Indexkrieg, sei er nun von LaTeX- oder inhaltlichen Problemen verursacht: Da gibt es ein $\begin{eqnarray*} X_0 \end{eqnarray*}$ , und wie groß der Stichprobenumfang ist, erschließt sich auch nicht so deutlich. Damit kann man nicht davon ausgehen, dass Konvention (*) hier greift, es sollten also die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ genauer erläutert werden. Insofern stimme ich Leopold in seiner eben zitierten Feststellung völlig zu.

22.01.2014, 17:20

Leopold

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Und leydecker hat, während ich meinen Beitrag schrieb, dann noch den folgenden gesendet:

Zitat:

Original von leydecker
$\begin{eqnarray*} E(X_{i}+2) \end{eqnarray*}$ wäre wieder q.

Danke schonmal für deine Hilfe, trotz dieser Uhrzeit smile

Das ist ja auch wieder irgendwie "komisch", man würde ja eher $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}(X_i) = q \end{eqnarray*}$ erwarten. Und wenn man sich den Buchstaben $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ in Handschrift geschrieben vorstellt, erinnert er wiederum an $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ , gegebenenfalls seitenverkehrt. Aber was soll man machen! Ob $\begin{eqnarray*} P,p,q,\mu,n,m,n+1,i,N,n_0 \end{eqnarray*}$ - ist doch eh alles dasselbe!

22.01.2014, 23:26

leydecker

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Danke für die zahlreichen Antworten, haben mir wirklich weiter geholfen! Es sollte auch eigentlich ein $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ sein anstelle eines q, habe nur das $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ nicht gefunden.. Zu dem zweiten Schätzer den ich gepostet habe, zeige ich euch mal ein Bild von meiner Mitschrift aus dem Tutorium. Die Mitschrift ist zu 100% richtig und für meinen Tutor waren die Rechenschritte natürlich alle trivial und logisch nachvollziehbar.. :/

www.s14.directupload.net/images/140122/wb44tfvv.png

Lieben Gruß

23.01.2014, 07:28

Leopold

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Zitat:

Original von leydecker
Die Mitschrift ist zu 100% richtig und für meinen Tutor waren die Rechenschritte natürlich alle trivial und logisch nachvollziehbar.. :/

Ist sie nicht. Du hast aus $\begin{eqnarray*} X_{i+2} \end{eqnarray*}$ plötzlich $\begin{eqnarray*} X_i+2 \end{eqnarray*}$ gemacht. Mein Verdacht, da sei etwas "komisch", hat sich also bestätigt. Und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ... sei's drum ...

Natürlich paßt meine Rechnung vom vorletzten Beitrag jetzt nicht mehr.

23.01.2014, 09:12

HAL 9000

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Wenn man's von der Tafel einfach nur abschreibt, dann kann man schon mal $\begin{eqnarray*} X_{i+2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_i+2 \end{eqnarray*}$ verwechseln. Wünschenswert wäre natürlich, beim Mitschreiben auch etwas die Gleichungskette mitzudenken, was dann automatisch zur Korrektur auf $\begin{eqnarray*} X_{i+2} \end{eqnarray*}$ führt - aber vielleicht erwarte ich da zuviel. Augenzwinkern

23.01.2014, 12:58

leydecker

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Ich bin mir durchaus bewusst, dass es $\begin{eqnarray*} X_{i+2} \end{eqnarray*}$ sein muss. In meiner Mitschrift sieht es leider nicht danach aus sorry dafür, da habe ich wohl im Eifer des Gefechts die +2 nicht tiefgestellt. Aber das ist nicht mein Problem, sondern wieder genau das selbe wie bei dem Schätzer vorher. $\begin{eqnarray*} X_{i+2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist ja klar, und das Summenzeichen wird aufgelöst in (n+1). Aber warum in (n+1)? Müsste es nicht einfach nur n sein?

23.01.2014, 13:05

Captain Kirk

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Es ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n 1= n+1 \end{eqnarray*}$ denn es sind n+1 Summanden, da die Menge {0,1,...,n} n+1 Zahlen enthält.

23.01.2014, 15:25

Leopold

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Zitat:

Original von leydecker
$\begin{eqnarray*} X_{i+2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$

Auch hier fehlt die Sorgfalt: $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}(X_{i+2}) = \mu \end{eqnarray*}$ .

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