Gruppe mit drei und vier Elementen

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Gruppenling Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe mit drei und vier Elementen
Hallo, ich mache grade zwei Aufgaben aus der Algebra(manche nennen es auch abstrakte Algebra^^, whatever)
Also das sind die Aufgaben:

G ist irgendeine Gruppe mit e als neutralem Element, mit folgenden Eigenschaften:

Wenn a^2 =a dann folgt a=e
Wenn ab=a dann folgt b=e
Wenn ab=b dann folgt a=e

Jetzt soll ich die gruppen Tabelle vervollständigen:

_|e|a|b
e|e|a|b
a|a|
b|a|

Da ja a^2 =a folgt a=e , also dann

_|e|a|b
e|e|a|b
a|a|e|
b|a|

Da ja in jeder Reihe nur einmal ein Element vorkommen darf sieht die Tabelle dann so aus:

_|e|a|b
e|e|a|b
a|a|e|b
b|a|

Ok weiter weiß ich leider nicht unglücklich
Jetzt fehlen ja nur noch ba und bb, und da kann nur noch jeweils a oder b in Frage kommen, also muss ich überlegen ob ab=a, ab=b oder bb=a oder bb=b und eigentlich kann auch noch jeweils das Indentitätselement raus kommen. Und das verwirrt mich irgendwie unglücklich Ich weiß nicht wie ich die oben beschriebenen Eigenschaften anwenden soll. bb=b kann ich kürzen zu b=e und das führt ja wieder zu ab=a, aber ich weiß nicht ob das stimmt. Oder soll ich einfach immer so umformen bis ich ein Ergebnis habe? Kann mir jemand helfen?

Gruß
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe mit drei und vier Elementen
Zitat:
Original von Gruppenling
G ist irgendeine Gruppe mit e als neutralem Element, mit folgenden Eigenschaften:

Wenn a^2 =a dann folgt a=e
Wenn ab=a dann folgt b=e
Wenn ab=b dann folgt a=e

Diese Aussagen gelten für beliebige Elemente und in jeder Gruppe .
Wie lautet denn die tatsächliche Aufgabenstellung?
MatheIstLustig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe mit drei und vier Elementen
Zitat:
Da ja a^2 =a

Wo hast du denn das her?
Das gilt laut Vorgabe nur für a=e. So wie du das in deine Tabelle eingebaut hast, hättest du zweimal das Elemsnt e.
MatheIstLustig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe mit drei und vier Elementen
@Che Netzer
Zitat:
Diese Aussagen gelten für beliebige Elemente und in jeder Gruppe .

Nein nicht ganz, gegenbeispiel ist die Kleinsche Vierergruppe. Für die gilt immer a²=e.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe mit drei und vier Elementen
Inwiefern soll das ein Gegenbeispiel sein?
MatheIstLustig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe mit drei und vier Elementen
Vergiss meine letzte Aussage, habe in Gedanken a und e vertauscht.
Sorry
 
 
Gruppenling Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Aufgabenstellung, ich soll die Gruppentabelle vervollständigen unter dem nutzen dieser Eigenschaften. Die einzelnen Eigenschaften zu Beweise hab ich schon gemacht(war die vorherige Aufgabe), von daher kann ich das nachvollziehen. Oh man die Tabelle die ich vervollständigen soll sieht natürlich so aus:

_|e|a|b
e|e|a|b
a|a|e|b
b|b|a|e

Ich hab die restlichen Elemente jetzt so hinzugefügt weil ja jedes Element einmal in einer Reihe vorkommen muss.

Gruß
Gruppenling Auf diesen Beitrag antworten »

Ähh sry die ursprüngliche Tabelle war so:

_|e|a|b
e|e|a|b
a|a|
b|b|
(natürlich)
MatheIstLustig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Oh man die Tabelle die ich vervollständigen soll sieht natürlich so aus:

_|e|a|b
e|e|a|b
a|a|e|b
b|b|a|e


Für deine Verknüpfungstafel gilt: (ab)a=a und a(ba)= e. Damit ist diese Tafel nicht Assoziativ und damit keine Gruppe.
Beachte noch einmal die erste Bedingung "Wenn a²=a, dann folgt a=e" genau.
Gruppenling Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich bin mir nicht sicher, aber muss ich die a durch e ersetzen? Dann müssten ja alle Bedingungen erfüllt sein oder? Dann gilt auch Assoziativität wieder.

Gruß
Gruppenling Auf diesen Beitrag antworten »

Ähh also lieber e durch a ersetzen smile tut mir leid für die mehrfachposts unglücklich
Gruppenling Auf diesen Beitrag antworten »

Halt, also da ja jedes Element nur einmal vorkommen darf muss die Gruppe dann so aussehen:

_|e|a|b
e|a|e|b
a|e|a|b
b|b|e|a

Freude ?

Gruß
Gruppenling Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, kann mir jemand noch kurz helfen und sagen ob das richtig ist? Ich glaube nicht, weil ja zwei gleiche Elemente in einer Reihe vorkommen unglücklich

Gruß
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

In einer Spalte oder Zeile muss jedes Gruppenelement genau einmal vorkommen. Das ist in deiner Tafel nicht der Fall.

Außerdem ist e*e sicher nicht a und e*a = a.
Gruppenling Auf diesen Beitrag antworten »

Ja danke, das hab ich jetzt auch realisiert. Ich frag dann einfach in einem anderen Forum.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gruppenling
Ich frag dann einfach in einem anderen Forum.


Das finde ich jetzt eine seltsame Reaktion. Wie wär's mal mit Nachdenken? Die Lösung springt eigentlich ins Auge. Damit nochmal andere Leute zu behelligen anstatt dir selber die Arbeit zu machen finde ich ganz schön dreist.
Gruppenling Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sry ich hab mich nur kurz gefragt in wie fern mir die Antwort geholfen hat. Aber ok, wenn ich nach dem Prinzip jede Reihe/Spalte nur ein Element vorgehe dann muss das die richtige Tabelle sein:

_|e|a|b
e|e|a|b
a|a|b|e
b|b|e|a

Was auch stimmt laut einer Seite die ich durch google gefunden habe. Leider weiß ich jetzt nicht welche Rolle die Bedingungen spielen unglücklich Das a^2 = e , a=e und ab= b , a=e und ab=a , b=e macht ja total Sinn. Aber in der Aufgabenstellen heisst es man solle beim Auffüllen von der Tabelle diese Eigenschaften im Kopf haben(und eben die mit jeweils ein Element in Reihe/Zeile usw.). Und ich weiß nicht wie einem diese Eigenschaften beim Auffüllen helfen sollen, ausser vielleicht das eb=b , e^2=e , ae=a was ja offensichtlich ist. Auch versteh ich dann nicht wieso dann laut der richtigen Tabelle bb=a und ab=e (dann müssten ab invers zueinander sein) so wie ba=e verwirrt Naja, noch irgendein Hinweis vielleicht?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einer 3-elementigen Gruppe folgt aus a^2=e, dass a=e ist, da {e=a^2,a} keine Untergruppe sein kann, da die Ordnung einer Untergruppe (und die Ordnung jedes Elements der Gruppe) die Ordnung der Gruppe teilen muss. es gibt also in einer 3-elementigen Gruppe nur die beiden trivialen Untergruppen. {e,a} wäre eine nicht-triviale UG.

Was anderes ist es bei einer 4-elementigen Gruppe, da kann es sehr wohl 2-elementige Untergruppen geben. Dies ist auch bei den beiden möglichen 4-elementigen Gruppen der Fall.
Gruppenling Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ok also bei Untergruppen bin ich jetzt noch nicht, aber kannst du ja nicht wissen. Trotzdem danke für die Hilfe, vielleicht werde ich in späteren Kapiteln dann erleuchtet was der wahre Grund ist.
Gruß
MatheIstLustig Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch die Bedingungen benutzt:
Mit der ursprünglichen Tabelle:
Zitat:
die ursprüngliche Tabelle war so:
_|e|a|b
e|e|a|b
a|a|
b|b|


hast du angefangen: Aus Eigenschaft 1 ergibt sich , dass in Zeile 2 nur noch b und e vorkommen können.
Aus Eigenschaft 2 und 3 ergibt sich für ab=e.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe mit drei und vier Elementen
Zitat:
Original von Gruppenling
G ist irgendeine Gruppe mit e als neutralem Element, mit folgenden Eigenschaften:

Wenn a^2 =a dann folgt a=e (*)
Wenn ab=a dann folgt b=e
Wenn ab=b dann folgt a=e



Allmählich verstehe ich dein Problem. In dem obigen Zitat stellt a eine Variable dar und nicht ein bestimmtes Gruppenelement mit Namen a. Die Aussage

bedeutet nur, dass das einzige Element einer Gruppe, das mit sich selber multipliziert wieder dieses Element ergibt, nur das Einselement sein kann. Dies hängt damit zusammen, dass es in einer Gruppe zu jedem Element ein Inverses gibt, also ein Element, das mit multipliziert das Einselement ergibt: . Dieses Element wird auch mit bezeichnet. Multiplizierst du nun von links (oder rechts) mit , so erhältst du . Gäbe es ein Element ohne Inverses, dann wäre die Implikation (*) nicht generell gültig.
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