Lineares Gleichungssystem Ax = b lösen ?

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25.01.2014, 12:47	HightronicDesign	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem Ax = b lösen ? Meine Frage: Von dem linearen Gleichungssystem Ax = b bestimme man - falls das Gleichungssystem lösbar ist- die allgemeine Lösung? $\begin{eqnarray} A = \begin{vmatrix} 1 & 5\\ 5 & 1 \\ 13 & -7 \end{vmatrix} ; b= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Muss ich das so lösen wie ein gewöhnliches System ? Nur was kommt dann für x raus ? Ein Faktor oder doch eine weitere Matrix ?
25.01.2014, 13:02	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
ich gehe davon aus, dass A eine Matrix sein soll. Dann ist x ein Element aus $\begin{eqnarray} \mathbb R ² \end{eqnarray}$ .
25.01.2014, 14:22	HightronicDesign	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja schon A ist eine Matrix, nur kommt dann multipliziert mit x ein Vektor raus ? Oder soll b eine 1x3 Matrix sein ?
26.01.2014, 00:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Um A sollte tatsächlich eine runde Klammer stehen, weil A mit Sicherheit eine Matrix ist. b ist eine einspaltige Matrix, diese wird allerdings auch als Spaltenvektor bezeichnet. Und x ist ebenfalls eine einspaltige Matrix, allerdings mit 2 Zeilen. ---------- Bist du zur Lösung gekommen und wie? mY+
26.01.2014, 12:35	HightronicDesign	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ja. Ich habe hier nochmal die genaue Angabe hochgeladen, allerdings brauche ich weiterhin Hilfe beim Lösen da ich nicht weiss wie man es macht. Ich würde mich sehr über einen Lösungsweg freuen da ich noch viele solcher Systeme lösen muss.
26.01.2014, 14:03	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Crossposting: http://www.onlinemathe.de/forum/Lineares...em-Ax-b-loesen- edit: Ich vermute fast, es handelt sich um verschiedene Fragesteller. In dem Fall wäre es kein Crossposting sondern Zufall.
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26.01.2014, 14:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst aus der Matrixgleichung ein Gleichungssystem erstellen und dieses "herkömmlich" lösen, also durch gewöhnliche algebraische Umformungen und Lösungsmethoden. Da 3 Gleichungen in 2 Variablen vorhanden sind, könnte auch der Fall eintreten, dass keine Lösungen existieren, weil dann das System überbestimmt ist. Im anderen Fall kann auch die dritte Gleichung redundant sein, also dieselbe Aussage liefern, wie die anderen beiden. Jedenfalls kommst du zu den Lösungen, indem du zwei der drei Gleichungen auflöst und dann die Lösungen in die dritte Gleichung einsetzt. Dabei kommte es, analog zu den beiden geschilderten Fällen, zu einer falschen oder wahren Aussage. --------- Eine andere Methode ist die, dass die Matrixgleichung nach Gauß mittels der entsprechenden Zeilenoperationen umgeformt wird. Man sieht dann sehr schnell, ob es zu einem Widerspruch kommt (keine Lösung) oder Nullzeilen auftreten (eindeutige Lösung oder unendlich viele). Diese Methode ist effizient und entspricht dem Vorgehen, wie es in der linearen Algebra angewandt wird. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 1 \\ 13 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & \ 5 \ \| & 2 \\ 5 & \ 1 \ \| & 3 \\ 13 & -7 \ \| & 5 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & \ \ 5 \ \ \ \| & 2 \\ 0 & \ -24 \ \| & -7 \\ 0 & -72 \ \| & -21 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray*}$ Jetzt sollte eigentlich schon alles ersichtlich werden ... mY+
26.01.2014, 14:23	HightronicDesign	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm sehr gut erklärt vielen Dank. Bleibt noch die Frage woher ich jetzt weiss das x nur aus 2 Zahlen besteht ? Hängt das etwa mit dem Rang von A ab und wenn ja gibt es einen Trick wie ich das schnell sehen kann welchen rang eine Matrix hat ohne viel rechnen zu müssen ?
26.01.2014, 14:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du dieses Thema auch bei OnlineMathe eingestellt?
26.01.2014, 14:52	HightronicDesign	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein aber der Link dazu ist auch hilfreich
26.01.2014, 14:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja ... Die Matrix x besteht deswegen aus nur 2 Zeilen, weil sonst die Matrixmultiplikation gar nicht möglich wäre. Denn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix muss gleich jener der Zeilen der zweiten Matrix sein. Im Gegensatz zu OnlineMathe werden bei uns KEINE Komplettlösungen gegeben. Das hat den Sinn, dass der Fragesteller SELBST zur Lösung kommen soll! Und nur noch zur Info: Crossposting ist unhöflich bzw. unfair und wird mit der Schließung des Themas geahndet. mY+
26.01.2014, 18:15	HightronicDesign	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja das mit dem kompleten Lösungsweg ist nicht immer schlecht, zumindest in meinem Fall fällt es mir oft leichter eine Methode nachzuvollziehen wenn ich die einzelnen Schritte sehe und diese kann ich dann auch auf weitere Rechnungen übertragen. Um ehrlich zu sein will ich nicht mal wissen wieso es gemacht wird sondern wie damit ich die Prüfung schaffe

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