Gauß-Integration über [0, 1] für n = 1

26.01.2014, 19:45	Spitzname:	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß-Integration über [0, 1] für n = 1 Meine Frage: Ich soll die Knoten und Gewichte der ersten zwei Gauß-Formeln zur näherungsweisen Berechnung von $\begin{eqnarray} \int_0^1(1-x)f(x)\text{ dx} \end{eqnarray}$ bestimmen. Meine Ideen: Ich vermute mal, dass mit "ersten zwei" die Fälle $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ gemeint sind. In einem Buch habe ich für $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ den folgenden Ansatz gefunden: Sei $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ein Polynom $\begin{eqnarray} (n+1) \end{eqnarray}$ -ten Grades, d.h. $\begin{eqnarray} p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \end{eqnarray}$ . Nach Gauß ist $\begin{eqnarray} \int_0^1f(x)dx\approx\sum_{i=1}^2w_if(x_i) \end{eqnarray}$ . Also: Integriere $\begin{eqnarray} p(x) \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ und führe einen Koeffizientenvergleich mit $\begin{eqnarray} w_1p(x_1)+w_2p(x_2) \end{eqnarray}$ . So, nun ist für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ also das Polynom $\begin{eqnarray} p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2 \end{eqnarray}$ zu betrachten. Integration liefert: $\begin{eqnarray} \int_0^1(1-x)p(x)\text{ dx}=2a_0+\frac{2}{3}a_1+\frac{2}{3}a_2 \end{eqnarray}$ . Den Koeffizientenvergleich spare ich mir: Es ist klar, dass ich drei Gleichungen bei zwei Unbekannten erhalten werden; das Gleichungssystem ist also überspezifiziert. Was mache ich falsch? Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich nicht $\begin{eqnarray} (1-x)p(x) \end{eqnarray}$ hätte integrieren müssen; an dem Problem mit der Überspezifikaiton ändert dies jedoch nichts. Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Grüße Spitzname
27.01.2014, 12:34	Spitzname:	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gauß-Integration über [0, 1] für n = 1 Ich wende mich an eine andere Stelle; bitte nicht mehr antworten

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