Dimension des Bildes einer Matrix

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superfreak Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension des Bildes einer Matrix
Meine Frage:
Hey,
es geht um das Probelm im Anhang. Leider habe ich zum Thema Bild kein gutes Skript. Ich habe mir ein paar youtube videos angeschaut, und versucht mich im Internet dazu einzulesen, bin aber recht unsicher.



Meine Ideen:
letztendlich ist ein Bild ja irgendwie wenn ich A* x = b habe die Spalten von A multipliziert mit den Elementen aus x, die dann den Vektor b ergeben sollen. Also z.B für

würde ich dann

schreiben können.
Jetzt habe ich das so verstanden, das folgendes gilt: Dimension (Bild einer Matrix)= Rang einer Matrix.
Warum das genau gilt weiß ich allerdings noch nicht.
Rechnet man den Rang mit der Gauß Methode bei der Matrix aus der Aufgabe aus, so kommt man ja darauf das der Rang 2 ist.
Hieße das dann das die Dimension des Rangs der Matrix auch gleich 2 ist?
Ich weiß zwar was eine basis ist(linear unabhängiges Erzeugendensystem). Nur ist mir nicht ganz klar wie das Bild was sich ja aus mehreren Spaltenvektoren zusammensetzt dann eine Basis haben kann. Ich bin für jeden Tip dankbar, aber versucht mich bitte nicht zu quälen, meine Nerven liegen wegen extremem Stress grade ziemlich blank!
Danke im Vorraus!!!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension des Bildes einer Matrix
Zitat:
Original von superfreak
Also z.B für

würde ich dann

schreiben können.

Anders gesagt: jeder Bildvektor läßt sich als Linearkombination aus den Vektoren , und darstellen.

Du mußt jetzt nur noch aus diesen Vektoren eine linear unabhängige Familie extrahieren. Wie das geht, sollte bekannt sein. smile
 
 
superfreak Auf diesen Beitrag antworten »

okay, also wäre der die Dimension des bildes gleich 2.
Nun hätten wir also einen Unterraum R².
Eine Basis ist definiert als ein linear unabhängiges Erzeugendensytem.

D.h für meine Basis aus der Aufgabe:

habe ich dann z.b die beiden Vektoren

löse ich das dann auf, so steht dort:

nun habe ich also einen 4er Vektor aus dem ich jedes v1 und v2 aus R machen können muss, um einen Erzeugendenraum zu haben. Sind die beiden Vektoren dann auch noch linear unabhängig hätte ich eine Basis. Das müsste ich mit allen Möglichen Vektorkombinationen aus A versuchen, bis ich eine Basis gefunden hätte. Mir ist nur leider nich klar, wie daraus ein Erzeugendensystem werden soll, weil der Vektor ja 4 Elemente hat, es aber wegen Rang(A)=2 nur 2 v´s gibt... Versteht ihr mein Problem?
superfreak Auf diesen Beitrag antworten »

keiner mehr?
superfreak Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte schaut doch noch mal rein...
... ich habe es leider immer noch nicht verstanden Hammer , also wenn sich noch wer aufopfern würde Lehrer , wäre ich sehr dankbar Willkommen Wink
Nobundo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht wirklich worauf du in deinem letzten Post hinaus willst, bzw was genau du da gerechnet hast.
Ich wiederhole nochmal was zu tun ist: Um die Dimension des Bildes deiner Matrix A zu bestimmen musst du die maximale Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren der Matrix bestimmen. Diese Anzahl entspricht gerade der Dimension des Bildes (ich komme da übrigens nicht auf 2) und der Bildraum wird auch durch eben diese Vektoren aufgespannt.
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