Berechne die Koeffizienten des komplexen Polynoms

30.01.2014, 15:18

Pippiplatsch

Berechne die Koeffizienten des komplexen Polynoms

Hallo,
Ich frage mich ob folgendes richtig ist, da ich leider keine Lösung für die Aufgabe habe.

Berechne die Koeffizienten des Polynoms $\begin{eqnarray*} p(z) = a_{0} +a_{1}z+a_{2}z²+z^3 \end{eqnarray*}$ mit den Nullstellen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -2\pm j \end{eqnarray*}$ .

Meine Idee
Ich dachte an Linearfaktorzerlegung und habe folgendes gemacht.

Nullstellen : $\begin{eqnarray*} Z_{0}=1 ; Z_{1}=-2+j ; Z_{2}=-2-j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(z)=(Z-1)\cdot(Z-Z_{1})\cdot(Z-Z_{2}) \end{eqnarray*}$

Nur stimmt das überhaupt, bzw. darf man das so stehen lassen smile

30.01.2014, 15:22

Steffen Bühler

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RE: Berechne die Koeffizienten des komplexen Polynoms
Ja, das ist völlig richtig. Nun multipliziere aus.

Viele Grüße
Steffen

30.01.2014, 16:03

Pippiplatsch

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Ok schonmal gut zu wissen Big Laugh

.

Ich glaube aber es hakt an der Ausmultiplikation von dem Konstrukt. Wenn ich das ausmultipliziere erhalte ich diesen riesen Ausdruck.

$\begin{eqnarray*} Z^3-Z²*Z_{2}-(Z*Z_{1})*Z+(Z*Z_{1})*Z_{2}-Z²+Z*Z_{2}+Z_{1}*Z-Z_{1}*Z_{2} \end{eqnarray*}$

Was mir nicht wirklich weiter hilft.

30.01.2014, 16:17

Steffen Bühler

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Doch, das ist der richtige Weg. Nun fasse alle Koeffizienten bei z² und z zusammen. Damit hast Du a2 und a1. Was ohne z steht, ergibt a0.

Ob Du vorher oder nachher z1=-2+j und z2=-2-j setzt, bleibt Dir überlassen.

Viele Grüße
Steffen

30.01.2014, 17:06

Pippiplatsch

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Ich habe das nun mühseelig ausmultipliziert und bin auf folgendes gekommen :

$\begin{eqnarray*} z^3+z²+3z+5 \end{eqnarray*}$

Kann aber auch gut sein, das ich mich verrechnet habe.
Demnach wäre das $\begin{eqnarray*} a_{0}=5 , a_{1}=3 , a_{2} =1 \end{eqnarray*}$

Was dann wiederrum eingesetzt $\begin{eqnarray*} p(z)=5+3z+z²+z^3 \end{eqnarray*}$ ergibt.

So ganz trauen kann ich dem Frieden noch nicht. Zumal das eine Kurzaufgabe sein soll, die man in 1-2 Minuten lösen soll geschockt

30.01.2014, 17:25

Steffen Bühler

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Du hast ein paar Vorzeichenfehler reingebracht. Schau mal:

$\begin{eqnarray*} Z^3-Z²*Z_{2}-(Z*Z_{1})*Z+(Z*Z_{1})*Z_{2}-Z²+Z*Z_{2}+Z_{1}*Z-Z_{1}*Z_{2} \end{eqnarray*}$

Das ist, wenn man noch Z*Z=Z² rechnet, dann:

$\begin{eqnarray*} Z^3 \color{red} - Z²*Z_{2}-Z²*Z_{1} \color{blue} +Z*Z_{1}*Z_{2} \color{red} -Z² \color{blue} +Z*Z_{2}+Z_{1}*Z \color{black} -Z_{1}*Z_{2} \end{eqnarray*}$

Bei Z² steht also -Z2-Z1-1. Das ist a2.

Bei Z steht Z1*Z2+Z2+Z1. Das ist a1.

Der Rest ist -Z1*Z2. Das ist a0.

Und jetzt kannst Du einsetzen. Zum Beispiel ist a0=-Z1Z2=-(-2-j)(-2+j) wegen dem dritten Binom -(4+1)=-5. Und so weiter.

Das sollte eigentlich in der Tat nicht furchtbar lange dauern.

30.01.2014, 17:46

Pippiplatsch

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Müsste die folgende Klammer nicht so lauten ?

$\begin{eqnarray*} Z*(Z*Z_{1}) = Z²+Z*Z_{1} \end{eqnarray*}$

Du schreibst :
$\begin{eqnarray*} Z*(Z*Z_{1}) = Z²*Z_{1}+Z \end{eqnarray*}$

30.01.2014, 17:50

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Pippiplatsch
Müsste die folgende Klammer nicht so lauten ?

$\begin{eqnarray*} Z*(Z*Z_{1}) = Z²+Z*Z_{1} \end{eqnarray*}$

Nein. Das sind zwei Multiplikationen, da können die Klammern weg. Es bleibt Z²*Z.

Zitat:

Original von Pippiplatsch
Du schreibst :
$\begin{eqnarray*} Z*(Z*Z_{1}) = Z²*Z_{1}+Z \end{eqnarray*}$

Das +Z am Schluss ist schon vom nächsten Term "+Z*Z1*Z2". Deshalb hab ich ja auch die einzelnen Summanden mit Farben getrennt.

PS: Ich muss für heut leider Schluss machen, aber der Rest ist ja nicht mehr die Welt. Zur Not hilft Dir bestimmt jemand anders.

30.01.2014, 18:24

Pippiplatsch

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Oh mist , das geht ja nur bei + und - .

Jetzt kann ich auch die neue Ausmultiplikation nachvollziehen und anwenden.
Nur wie siehst du so schnell, was Z² und Z ist ?

Auf die restlichen Ergebnise dann zu kommen ist kein Problem mehr.

31.01.2014, 08:52

Steffen Bühler

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Ich sortier den Ausdruck mal um, dann siehst Du's vielleicht besser:

$\begin{eqnarray*} Z^3 - Z^2 \cdot Z_2 - Z^2 \cdot Z_1 +Z \cdot Z_1 \cdot Z_2 -Z^2 +Z \cdot Z_2 + Z_1 \cdot Z -Z_1 \cdot Z_2 \end{eqnarray*}$

Erst mal alle Koeffizienten, also Z1 und Z2, hübsch an den Anfang:

$\begin{eqnarray*} Z^3 - Z_2 \cdot Z^2 - Z_1 \cdot Z^2 + Z_1 \cdot Z_2 \cdot Z - Z^2 + Z_2 \cdot Z + Z_1 \cdot Z - Z_1 \cdot Z_2 \end{eqnarray*}$

Jetzt die Hochzahlen nach der Reihe:

$\begin{eqnarray*} Z^3 - Z_2 \cdot Z^2 - Z_1 \cdot Z^2 - Z^2 + Z_1 \cdot Z_2 \cdot Z + Z_2 \cdot Z + Z_1 \cdot Z - Z_1 \cdot Z_2 \end{eqnarray*}$

Nun kann man distributiv zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} Z^3 + (- Z_2 - Z_1 -1) \cdot Z^2 + (Z_1 \cdot Z_2 + Z_2 + Z_1) \cdot Z - Z_1 \cdot Z_2 \end{eqnarray*}$

Et voilà.

Viele Grüße
Steffen

31.01.2014, 10:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pippiplatsch
Zumal das eine Kurzaufgabe sein soll, die man in 1-2 Minuten lösen soll

Wenn alle Nullstellen reell sind oder aber nur als konjugiert komplexe Paare auftreten, dann weiß man ja, dass das Polynom reell ist, und kann folgenden Alternativweg in Betracht ziehen:

Die Linearfaktoren mit den konjugiert komplexen Lösungen werden vorab multipliziert, damit möglichst schnell alles schön reell wird - und zwar per dritter binomischer Formel:

$\begin{eqnarray*} (z-(a+bj))\cdot (z-(a-bj)) = ((z-a)-bj)\cdot ((z-a)+bj) = (z-a)^2 - (bj)^2 = z^2-2az + a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ .

Im vorliegenden Fall also

$\begin{eqnarray*} (z-(-2+j))\cdot (z-(-2-j)) = z^2+4z+5 \end{eqnarray*}$

und im Gesamtergebnis ist dann noch $\begin{eqnarray*} p(z) = (z-1)(z^2+4z+5) \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren - könnte in 2 Minuten machbar sein. Augenzwinkern

31.01.2014, 11:33

Pippiplatsch

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Ah danke für eure Hilfe! Jetzt ist es mir klar Big Laugh

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