Alle Lösungen einer komplexen Gleichung bestimmen

30.01.2014, 20:37	Feuersbrunst	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Lösungen einer komplexen Gleichung bestimmen Hallo , Ich komme leider bei dieser Aufgabe nicht weiter. Es sollen alle reellen und komplexen Lösungen dieser komplexen Gleichung bestimmt werden. $\begin{eqnarray} <br /> (z-j)^3=-j \end{eqnarray}$ Ich habe mir eine Skizze mit der Real und Imaginärachse gemacht und dann -j in Expotentialform gebracht. $\begin{eqnarray} (z-j)^3=e^{j\frac{3}{2}\pi } \end{eqnarray}$ Nun weiß ich aber leider nicht, wie man hier weiter vorgeht. Gruß
31.01.2014, 00:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun muss z - j nacheinander gleich den 3 dritten Einheitswurzeln der rechten Seite gesetzt werden. Die erste davon ist j, wie unschwer zu erkennen ist, die anderen beiden haben ebenfalls den Betrag 1 und die Winkel sind jeweils um 120° von 90° ausgehend versetzt. mY+
31.01.2014, 18:56	Feuersbrunst	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe, ich konnte die Aufgabe lösen. Ich bin nun auf das Ergebnis in der Lösung gekommen. Ich habe als $\begin{eqnarray} (Z-j)^3 \end{eqnarray}$ eine Variabale Z* gesetzt. Da diese bei j Null wird, also $\begin{eqnarray} e^{j\pi /2} \end{eqnarray}$ habe ich um $\begin{eqnarray} 2/3\pi \end{eqnarray}$ weitergedreht. Zum Schluß noch +j Addiert und somit kam ich auf die Lösung. Leider funktioniert das Verfahren aber irgendwie beim b Teil nicht. Hier ist gegeben : $\begin{eqnarray} (z-j)²=j \end{eqnarray}$ . Daraus schließe ich , dass der Ausdruck bei -j gleich Null wird. Das heißt also bei $\begin{eqnarray} e^{j3\pi /2} \end{eqnarray}$ Da hoch 2, teile ich 360°:2 --> $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ , mein "Drehfaktor". Wenn ich jetzt zu $\begin{eqnarray} 3/2 \pi \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ , dazu addiere komme ich nicht auf die richtige Lösung... Laut Lösung wird der Ausdruck $\begin{eqnarray} (z-1)² \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} e^{j\pi /4} \end{eqnarray}$ Null ...
01.02.2014, 12:46	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Lösungsmethode ist nicht die taktisch richtige, deswegen bekommst du auch ein falsches Resultat. Die Substitution (z - j) = z* passt noch, danach solltest du klassisch vorgehen (und nicht den Ausdruck z - j Null setzen): $\begin{eqnarray} (z^)^2 = j = e^{j \frac {\pi} 2} \end{eqnarray}$ Wie wird nun diese Gleichung richtig gelöst? Es ist eine einfache Kreisteilungsgleichung und du suchst einfach die beiden Einheitswurzeln von j: $\begin{eqnarray} z^* = e^{j (\frac {\pi} 4 + k \pi)} \ \text {k = 0, 1} \end{eqnarray*}$ Und schon hast du - nach dem Umschreiben wieder in die binomische Form - die beiden Lösungen ... mY+

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