Basis der Summe von 2 Untervektorräumen

31.01.2014, 23:41	selphiron	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis der Summe von 2 Untervektorräumen Meine Frage: Hi! Ich habe eine Aufgabenstellung aber im Netz und Mitschriften mehrere sich widersprechende Lösungswege und frage deshalb hier nach. Folgendes: Gegeben sind 2 Untervektorräume U=span{ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ } und V=span{ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ } Die Aufgabe lautet : Bestimme eine Basis von U+V Edit(Helferlein): Aufgabenstellung korrigiert und Nachtrag gelöscht, damit es nicht so aussieht als sei die Frage schon in Arbeit. Meine Ideen: Also U + V = span{ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ } So nun bilde ich eine Matrix A und bestimme Basis von Bild(A). So und nun ist hier mein 1. Problem. Wie baue ich die Matrix? Übernehme ich direkt die Basisvektoren als die Spalten meiner Matrix oder benutze ich sie als die Zeilenvektoren. Variante 1 würde folgende Matrix hervorbringen: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 &2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Variante 2 hingegen: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Müsste dann eins der beiden Matrizen in ZSF bringen und die Spalten mit den Köpfen wären dann meine Basisvektoren oder(also dann von der Ursprungsmatrix)? Also wenn ich Variante 1 zu ZSF bringe erhalte ich die Matrix $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 &8\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Demnach wäre von der Ursprungsmatrix die 1. , die 2. und die 4. Spalte die Basis von U + V also B={ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ } ist das richtig so? Vielen dank für eure Antworten
01.02.2014, 18:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist richtig. Egal ob Variante 1 oder 2, der Rang der Matrix ist 3. In jedem Fall ist also eine Basis von U+V jede Menge aus 3 linear unabhängigen Vektoren von U+V.
01.02.2014, 19:32	selphiron	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank für deine Antwort! Wenn der Rang 4 Wäre könnte ich mir irgendeine Basis des R^4 nehmen oder? Also auch die Standardbasis des R^4
01.02.2014, 19:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jeder Vektor hat 3 Komponenten, also bist du im R³. Da gibt es nicht mehr als 3 l.u. Vektoren, also kann auch der Rang der Matrix nicht grösser als 3 sein. Wie ich schon sagte, kannst du 3 l.u. Vektoren beliebig wählen, so wie du gewählt hast, ist es gut, die Standardbasis des R³ tut's auch und jede andere Basis des R³ ebenso.
02.02.2014, 01:51	selphiron	Auf diesen Beitrag antworten »
verstehe vielen dank nochmal

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