Stochastik |
| 01.02.2014, 14:38 | Nick92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Stochastik Hey Leute, haben heute einer Klausur geschrieben und sind uns bei einer Aufgabe in Stochastik alle nicht sicher, wie man sie richtig rechnet. Wir bitten sehr um eure Mithilfe... 4 Leute gehen in ein Restaurant und wählen zufällig eines von 5 Menüs aus ( sie wissen gegenseitig nicht, welches sie gewählt haben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Menü mindestens zweimal gewählt wird? Meine Ideen: Ich habe folgendes gedacht: 5^4= 625 Möglichkeiten, habe dann z.B. Menü 1 ausgewählt Wk, dass Menü 1 einmal vorkommt: Keine 1: 4^4 Mindestens 1mal Menü 1: 1- (4/5)^4= 0,5904 Das habe ich dann ebenfalls gemacht, wenn es nur noch bei 3 Personen ist: 1-(4/5)^3= 0,488 Wok, dass es mind. 2 mal vorkommt: 0,5904*0,488= 0,2881152 ca. 28,8% Liege ich komplett am Holzweg? Ich wäre um die richtige Lösung sehr dankbar! |
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| 01.02.2014, 14:46 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde das über das Gegenereignis machen, also: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jeder ein unterschiedliches Menü hat? Die erste Person kann noch jedes Menü wählen. Die zweite Person hat dann nur noch ein Menü weniger zur Auswahl. Wie groß ist also die Wahrscheinlichkeit, dass sie eines dieser Menüs wählt? Bei Person 3 ist es dann noch ein Menü weniger, bei Person 4 noch eins weniger. Du musst jeweils die Wahrscheinlichkeiten berechnen und dann multiplizieren. Ein ähnliches (bekanntes) Problem ist z.B. das "Geburtstagsproblem": Wie groß ist bei einer bestimmten Anzahl Personen die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben? Übrigens: Schöner Name! 
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| 01.02.2014, 15:10 | Nick92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und was muss ich dann mit diesem Gegenereignis machen, dass ich auf das " wirkliche" Ergebnis komme? |
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| 01.02.2014, 15:16 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses hast, dann ist |
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| 01.02.2014, 15:28 | Nick92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber ist nicht in diesem Zusammenhang, wie du es geschildert hast, dass Gegenereignis ein anders, was ich suche?! Wenn ich zuerst ausrechne wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass alle ein unterschiedliches Menü nehmen, ist das Gegenereignis, die Wahrscheinlichkeit, dass alle dasselbe Menü nehmen, oder? Aber ich muss ja wissen, wie groß die Wk ist, dass zweimal das gleiche Menü genommen wird.... |
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| 01.02.2014, 15:36 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, eben nicht. Das Gegenereignis zu "Alle nehmen ein unterschiedliches Menü" ist "Mindestens zwei Personen haben das gleiche Menü". |
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| 01.02.2014, 15:51 | Shizophren | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gibt es denn nach Auswahl eines Menüs, ein Menü weniger? Doch eigentlich nicht ,oder? Das heißt es gibt 5 verschiedene Menüs. Es könnten rein theoretisch aber auch alle das gleiche Menü wählen. Heißt für mich, nach Wahl eines Menüs, bleibt die W'kein bei den anderen die gleiche. Weil diese auch aus den 5 Menüs wählen können. Ich würde die Aufgabe als Bernoulli Versuch ansehen und folgendes Rechnen. |
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| 01.02.2014, 16:05 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schizophren: Bist du Nick92? Ja, natürlich könnte auch jeder das selbe Menü nehmen. Aber wir wollen ja jetzt die W'keit des Ereignisses "Jeder nimmt ein unterschiedliches Menü" berechnen. Und die W'keit, dass Person 2 ein anderes Menü als Person 1 nimmt, ist 4/5. Die W'keit, dass Person 3 ein anderes Menü als Person 1 und Person 2 nimmt, ist ...? Und die W'keit, dass Person 4 ein anderes Menü als Person 1, Person 2 und Person 3 nimmt, ist ...? |
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| 01.02.2014, 16:08 | Shizophren | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, ich bin nicht Nick :-) Ich habe oben mal eine Lösung gepostet. Das Forum scheint gnadenlos überlastet zu sein, zumindest dauert das laden hier gerade ewig. Guck mal über meine Lösung bitte. Mich interessiert die Rechnung nämlich auch :-) |
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| 01.02.2014, 16:17 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß leider nicht, wie du auf diese Formel gekommen bist (Erklärung?). 
Jedenfalls ist 10% zu wenig.Du kannst ja mal hier gucken, da ist erklärt, wie das beim Geburtstagsproblem geht. Hier geht es genauso, nur, dass man da etwas andere Zahlenwerte hat. |
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| 01.02.2014, 16:20 | Shizophren | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist die allgemeine Formel für Bernoulli Versuche (Binominalverteilung) Kann aber nicht für eine richtige Lösung garantieren. |
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| 01.02.2014, 16:28 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, diese Formel kenne ich schon. Aber wieso steht in dem Binomialkoeffizienten eine 4? Soll da vielleicht eine 2 hin? Und selbst dann würde es nicht stimmen. Denn du hättest dann die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass genau 2 bestimmte Personen das selbe Menü wählen (ein bestimmtes). Wir wollen aber die W'keit berechnen, dass mindestens zwei beliebige Personen das selbe Menü wählen, wobei es egal ist, welches genau sie nehmen. |
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| 01.02.2014, 16:32 | Nick92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also müsste ich rechnen: 5*4*3*2: 5^4= 120/625 = 0,192 1- 120/625= 0,808 = 80,8%, dass zwei Personen das gleiche Menü wählen. |
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| 01.02.2014, 16:33 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, so habe ich das auch. @Schizophren: Und das sind ja dann schon etwas mehr als 10%.
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| 01.02.2014, 16:38 | Shizophren | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du mir das bitte nochmal genauer Erläutern? Wieso 5*4*3*2? Den Rest kann ich nachvollziehen. |
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| 01.02.2014, 16:41 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die erste Person kann ihr Menü noch frei wählen, hat also noch 5 Möglichkeiten. Die zweite Person hat dann nur noch 4 Möglichkeiten, damit es keine Überschneidungen gibt. Die dritte Person hat nur noch 3, und die vierte Person nur noch 2 Möglichkeiten. Insgesamt ergibt das 5*4*3*2 Möglichkeiten, die Menüs auszuwählen, ohne dass es Überschneidungen gibt. Weil es insgesamt 5^4 Möglichkeiten gibt, ergibt das eine Wahrscheinlichkeit von , dass kein Menü doppelt vorkommt. |
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| 01.02.2014, 16:46 | Nick92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die erste Person hat 5 Menüs zur Auswahl, die zweite nur noch 4, die dritte nur noch 3 und die vierte nur noch 2, für die Wahrscheinlichkeit, dass alle ein unterschiedliches wählen. |
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| 01.02.2014, 17:07 | Shizophren | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Könnt ihr das bitte etwas allgemeiner Formulieren? Ich verstehe das leider immer noch nicht ganz. Ich verstehe den Zusammenhang schon, aber die Rechnung leider noch nicht. Welche Formel wurde denn hier verwendet? Ich suche im Buch die ganzen Zeit bei den Variationen, Permutation usw. Finde aber nichts. Auf die 120 komme ich mit Permutation: 5! oder auch mit Variation - mit Reihenfolge ohne Wiederholung (4 über 5) = 5! / (4-5!) |
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| 01.02.2014, 17:15 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist eine Variation ohne Wiederholung. Allerdings berechnet man die Anzahl der möglichen Variationen mit , hier n=5, k=4. |
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| 01.02.2014, 17:30 | Shizophren | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, es gibt also 120 Möglichkeiten, 4 Gerichte auf 5 Personen zu verteilen. Und was sagt die 5^4 = 625 dann aus? |
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| 01.02.2014, 17:35 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Das ist ja die Anzahl der Variationen ohne Wiederholung. Also die Anzahl der Möglichkeiten, die Menüs so auszuwählen, dass keines doppelt doppelt vorkommt. 5^4 ist dann die Anzahl der Möglichkeiten, die Menüs irgendwie auf die Personen zu verteilen; dabei sind auch Wiederholungen zugelassen (siehe hier). |
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| 01.02.2014, 17:36 | Shizophren | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar, danke dir! Hatte einen Denkfehler. Habe es jetzt auch endlich mal verstanden 
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