Kurvendiskussion: Brückenträger

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Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion: Brückenträger
Guten Tag. Es ist mal wieder soweit, da ich bald die Prüfung schreibe, muss ich ganz viel üben. Ich weiß, dass ist wieder ganz viel, aber ich habe keine andere Wahl, muss nämlich üben^^

Gegeben sind die Funktionen mit der Gleichung .

Die Graphen dieser Funktionen seinen .

a) Geben Sie den Definitionsbereich von an und bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte von für in Abhängigkeit von a für .

b) Einer der Graphen hat den lokalen Extrempunkt . Bestimmen Sie für diesen den Wert des Parameters a und die Art des Extrempunktes E.
Der zum berechneten Parameterwert a=1,5 gehörende Graph hat einen weiteren lokalen Extrempunkt. Ermitteln Sie dessen Koordinaten und die Art.

c) Zeigen Sie, dass sich alle Graphen auf der y-Achse schneiden. Weisen Sie nach, dass die Graphen in diesem gemeinsamen Punkt auch eine gemeinsame Tangente t haben und ermitteln Sie deren Gleichung.

e) Berechnen Sie im Intervall den mittleren Anstieg von . Zeigen Sie, dass die untere Begrenzung des Brückenträgers aus Teilaufgabe d auch sehr gut durch eine Gerade beschrieben werden kann, indem Sie nachweisen, dass sich der mittlere Anstieg und der maximale Anstieg von in diesem Intervall um weniger als 0,02 unterscheiden.

Idee:

Aufgabe a)

Um zu überprüfen, ob diese Funktionenschar eine Polstelle besitzt, müssen wir schauen, wann der Nenner null wird, daraus ergibt sich folgender Ansatz:

Nun können wir den Definitionsbereich aufstellen:

Jetzt schauen wir nach, wie sich die Funktion im unendlichen verhält.





Ich würde sagen, wenn ist, dann ist der Zähler und der Nenner positiv, aber wenn ist, dann ist der Zähler negativ und der Nenner positiv.

Leider weiß ich nicht, was ich daraus interpretieren soll unglücklich .

Aufgabe b)

Wir haben hier eine Information gegeben und zwar wissen wir, wo sich der Extrempunkt befindet und damit können wir arbeiten.
Es muss gelten, dass d.h wir brauchen zuerst die Ableitung dieser gebrochenrationalen Funktion.

Unter Verwendung der Quotientenregel ergibt sich für die erste Ableitung:



Nun setzten wir unsere Idee ins Licht.



Unter Verwendung vom Satz des Nullproduktes, den wir gestern gelernt haben, ergibt sich smile



Jetzt bestimmen wir die Art vom Extremum:



Jetzt müssen wir noch überprüfen, wo der andere Extrempunkt liegt, wenn a=1,5 ist.






Unter Anwendung des Satzes vom Nullprodukt ergibt sich:

In diesem Fall ist irrelevant. Betrachten wir uns den anderen x-Wert.

Anderer Extrempunkt:



Um die Art zu bestimmen, benötigen wir die zweite Ableitung:



Aufgabe c)

Hier bin ich mir relativ unsicher. Ich würde vermuten, dass diese Bedingung gelten muss: . Habe ich damit schon gezeigt, dass alle Graphen die y-Achse schneiden ? verwirrt

Und wie soll ich nachweisen, dass sie eine gemeinsame Tangente haben verwirrt ?


Daraus ergibt sich erstmal folgender Punkt:



Nun müssen wir die Tangentengleichung aufstellen: Dafür brauchen wir die Steigung, die wir zuerst berechnen müssen:

Punktsteigungsform:




zu e) Hier fällt mir leider nur der Differenzenquotient ein, ob man damit was anfangen kann, ist eine Frage ^^

Vielen Dank schon mal
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion:Brückenträger
Fangen wir erstmal mit a) an:
Zitat:
Original von Bonheur
Aufgabe a)
Nun können wir den Definitionsbereich aufstellen:

Du meinst das Richtige, aber die Notation stimmt nicht. oder auch wäre besser.


Für den Grenzwert (da musst du nur den Fall betrachten, steht so in der Aufgabe): Klammere in Zähler und Nenner die höchste Potenz aus, also .
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll ich die Potenz im Nenner ausklammern ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist denn das Problem? smile
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

.

So hier?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bonheur

Das rote x gehört da nicht hin.

Jetzt kannst du kürzen und dann den Grenzwert für bestimmen.
 
 
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Womit soll ich kürzen ?

Wieso muss man eigentlich x^2 ausklammern ?

Ich möchte das unbedingt verstehen^^
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei solchen gebrochen-rationalen Funktionen klammert man im Nenner und Zähler die höchste Potenz aus, weil man dann den Grenzwert für bestimmen kann.
Du kannst jetzt einfach in Zähler und Nenner kürzen.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »







Ich erkenne an diesem Ausdruck, wenn a=0 ist, dann strebt x gegen null. Und wenn a größer null ist, würde ich sagen, dass x gegen unendlich strebt oder?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bonheur
Ich erkenne an diesem Ausdruck, wenn a=0 ist, dann strebt x gegen null. Und wenn a größer null ist, würde ich sagen, dass x gegen unendlich strebt oder?


Am besten betrachten wir erstmal den Fall a>0.

Meinst du vielleicht "..., dass f(x) gegen unendlich strebt"?

Wenn geht, dann geht

Und was ist, wenn geht (alles für den Fall a>0)?
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das habe ich gemeint. Mir fehlt aber ein wenig die Notation.

Für , dann geht

Oder?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Jetzt müssen wir noch den Fall a=0 betrachten. Da vereinfacht sich dann die Funktionsgleichung zu
Siehst du jetzt schon, gegen welchen Wert diese Funktion für konvergiert? Wenn nicht, klammere wieder die höchste Potenz, hier also x, aus.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, gegen null.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion:Brückenträger
Richtig.

Bei Aufgabe b) müsste alles stimmen.

Zitat:
Original von Bonheur
Aufgabe c)

Hier bin ich mir relativ unsicher. Ich würde vermuten, dass diese Bedingung gelten muss: . Habe ich damit schon gezeigt, dass alle Graphen die y-Achse schneiden ? verwirrt

Wie kommst du auf diese Bedingung?
Berechne einfach den Schnittpunkt der Graphen mit der y-Achse. Dieser sollte nicht von a abhängen.
Damit die Graphen in diesem Punkt eine gemeinsame Tangente haben, muss auch der Anstieg, also die erste Ableitung übereinstimmen.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »



Diese Bedingung muss gelten, hatte mich dort verschrieben. smile

Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat die Koordinaten (0|-3).

Dann müsste alles andere zur Aufgabe c stimmen oder? ^^
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Tangentengleichung stimmt.

Aufgabe e)
Um den mittleren Anstieg zu berechnen, brauchst du den Differenzenquotienten. Für den Rest von e) müsste ich erstmal Aufgabe d) kennen.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

d) Der Querschnitt eines Brückenträgers entspricht in guter Näherung modellhaft der Fläche, die der Graph und die Geraden und mit der x-Achse einschließen. Berechnen Sie die Größer dieser Fläche auf zwei Dezimalstellen.

[attach]33049[/attach]

Hier sollte man nur die Fläche berrechnen. Da war ich mir relativ sicher bei der Lösung :=).

10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann berechne erstmal mithilfe des Differenzenquotienten den mittleren Anstieg im Intervall


Ich muss jetzt erstmal weg; bin in ca. 2 Std. wieder da.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »



So hier?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig.

Jetzt sollst du ja zeigen, dass sich der mittlere und der maximale Anstieg in diesem Intervall um maximal 0,02 unterscheiden.

Du musst also den maximalen Anstieg von im Intervall berechnen.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch nie den maximalen Anstieg berrechnet verwirrt



so?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Der maximale Anstieg im Intervall [-8, -4] ist zwar bei -8, aber ist das jetzt nur zufällig richtig geraten? Augenzwinkern Wenn nein, wie hast du denn gerechnet?
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir gedacht, das Steigungsverhalten von zu untersuchen.
Und der maximale Anstieg, ist wahrscheinlich das Maximum, deshalb braucht man noch die zweite Ableitung.

Es galt die Bedingung, dass ist. Nun muss m "ja" Theoretisch maximal werden. Also wird das Maximum gesucht, deshalb gilt:

Und die zweite Ableitung von lautet: Hier kann "ja" der Zähler nicht null werden, also gibt es keine Nullstellen und somit kein Maximum.

Ich weiß nicht, ob meine Gedankengänge so korrekt sind ^^

Deshalb habe ich einfach die untere Grenze gewählt.^^ also habe ich geraten hahah^^
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit diesem Vorgehen kann man immer nur lokale Maxima berechnen. Wir wollen hier aber ein globales Maximum auf dem Intervall [-8, -4] berechnen.
Da die Funktion auf diesem Intervall stetig ist, reicht es dazu, die lokalen Maxima (falls vorhanden) zu bestimmen, und dann noch die Funktionswerte an den Rändern, also und zu berechnen. Der größte von all diesen Werten ist dann das globale Maximum.

Den ersten Schritt hast du schon gemacht, indem du gezeigt hast, dass es keine lokalen Maxima gibt. Bleibt jetzt also noch der Rest.


Ein anderes mögliches Vorgehen wäre, zu zeigen, dass im Intervall [-8, -4] monoton fallend ist. An welcher Stelle muss also das Maximum sein?
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist bestimmt eine peinliche Frage^^ Was ist der Unterschied zwischen einem globalem und lokalem Maximum ?

Die erste Methode ergibt, dass die Steigung an der Stelle x=-8 größer ist.

Die zweite Methode ergibt, dass die Steigungen an der x=-8 und x=-4 immer negativ sind, wodurch die Funktion in diesem Intervall monoton fällt. Und in solchen Fällen liegt das Maximum immer an der Randgrenze, würde ich jetzt vermuten.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Guck dir mal folgende Beispiele an:


Die Funktion (rot) hat auf dem Definitionsbereich ein globales und lokales Minimum bei x=0. Es ist lokal, weil in einer Umgebung um diesen Punkt alle Funktionswerte größer als g(0)=0 sind. Lokale Maxima (differenzierbarer Funktionen) besitzen also waagerechte Tangenten; man kann sie mithilfe der ersten Ableitung berechnen. Dieses Minimum ist sogar global, weil es nirgendwo einen Funktionswert gibt, der kleiner als g(0)=0 ist.

Die Funktion (grün) hat bei x=0 ein lokales Maximum. Dieses ist aber nicht global, weil es Funktionswerte gibt, die größer als h(0)=0 sind.

Zurück zur Aufgabe:
Du hast jetzt also berechnet, dass der maximale Anstieg im Intervall [-8, -4] bei x=-8 ist. Wie groß ist dort der Anstieg? Und dann berechnest du die Differenz zwischen diesem maximalen Anstieg und dem mittleren Anstieg, den du vorhin berechnet hast. Das soll dann laut Aufgabe kleiner als 0,02 sein.



Ich bin dann für heute weg. Wenn du noch Fragen hast, bin ich morgen wieder da. Wink
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das mit global und lokal verstanden :=)





Differenz von .



Ich bedanke mich herzlich bei dir, dass du mir so gut geholfen hast. Ich wünsche dir alles gute der Welt und nochmals vielen vielen vielen dank smile Freude
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Anmerkung:

Zitat:
[...] und bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte von für in Abhängigkeit von a für .

Zitat:
Wenn geht, dann geht

Üblicherweise wird dieses Verhalten genauer angegeben, und zwar in Form der Gleichung einer schiefen Asymptote. (Polynomdivision)
Dadurch erübrigt sich dann auch die Unterscheidung in a= 0 und a>0.
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