Lösen von Matrizengleichungen

01.02.2014, 19:11

m8u2

Lösen von Matrizengleichungen

Meine Frage:
HI, also ich habe die Aufgabe:

AX+2B=3C+(X^T*B)^T

Diese Matrizengleichung soll nun nach X umgestellt werden.

Meine Ideen:
Leider habe ich den Lösungsalgorithmus für diese Aufgaben verlernt.
Ich weiß nur, dass man von rechts oder links invertieren muss, falls es sich um die Umformung einer Multiplikation handelt. Ich hätte erst einmal versucht, die 2B durch Subtraktion auf die rechte Seite zu bringen und das A von X zu isolieren.

01.02.2014, 19:56

Kasen75

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Hallo,

ich würde erst einmal $\begin{eqnarray*} (X^T \cdot B)^T \end{eqnarray*}$ umformen zu $\begin{eqnarray*} B^T \cdot X \end{eqnarray*}$

Grüße.

02.02.2014, 11:15

m8u2

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also es kann sein, dass ich jetzt totalen mist gerechnet habe, aber ich hab es mal versucht und ich komme jetzt auf die lösung:

$\begin{eqnarray*} X=3C+B^{T}\cdot 2B\cdot (A-E)^{-1} \end{eqnarray*}$

02.02.2014, 13:29

Kasen75

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Ich habe da irgendwie etwas anderes heraus. Es wäre gut, wenn du ein paar Zwischenschritte posten könntest.

02.02.2014, 13:50

m8u2

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also ich hab jetzt auch was anderes raus, aber es kann auch sein, dass an irgendeiner Stelle in der Rechnung ein Denkfehler meinerseits enthalten ist:

$\begin{eqnarray*} AX+2B=3C+X\cdot B^{T} AX+2B-X=3C\cdot B^{T} AX-X=3C\cdot B^{T}-2B X(A-E)=3C\cdot B^{T}-2B X=(A-E)^{-1}\cdot (3C\cdot B^{T}-2B) \end{eqnarray*}$

02.02.2014, 13:59

Kasen75

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Zitat:

Original von m8u2
also ich hab jetzt auch was anderes raus, aber es kann auch sein, dass an irgendeiner Stelle in der Rechnung ein Denkfehler meinerseits enthalten ist:

$\begin{eqnarray*} AX+2B=3C+X\cdot B^{T} \end{eqnarray*}$

Du gehst gleich am Anfang von der falschen Gleichung aus. Richtig: $\begin{eqnarray*} AX+2B=3C+ B^{T} \cdot X \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von m8u2
$\begin{eqnarray*} AX+2B-X=3C\cdot B^{T} \end{eqnarray*}$

Dann ziehst du auf der linken Seite X ab, obwohl auf der rechten Seite X multiplikativ mit $\begin{eqnarray*} B^T \end{eqnarray*}$ verbunden ist.
Wie gesagt, es ist die falsche Gleichung.

02.02.2014, 14:06

m8u2

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also ich hab jetzt nur noch den folgenden Ansatz, allerdings ohne Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} AX+2B=3C+B^{T}\cdot X AX=3C+(B^{T}\cdot X)-2B AX-(B^{T}\cdot X)^{-1}=3C-2B \end{eqnarray*}$

also wenn das jetzt auch falsch ist, bin ich mit meinem Latein beinahe am Ende

02.02.2014, 14:14

Kasen75

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Zitat:

Original von m8u2
also ich hab jetzt nur noch den folgenden Ansatz, allerdings ohne Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} AX+2B=3C+B^{T}\cdot X AX=3C+(B^{T}\cdot X)-2B AX-(B^{T}\cdot X)^{-1}=3C-2B \end{eqnarray*}$

also wenn das jetzt auch falsch ist, bin ich mit meinem Latein beinahe am Ende

Der Fehler von der 2. zu 3. Zeile lässt sich leicht beheben. Du ziehst auf der rechten Seite $\begin{eqnarray*} (B^{T}\cdot X) \end{eqnarray*}$ ab. Das machst du jetzt (oder ich) auch auf der linken Seite. Es muss gar nicht invertiert werden.

$\begin{eqnarray*} AX=3C+(B^{T}\cdot X)-2B AX-B^{T}\cdot X=3C-2B \end{eqnarray*}$
Klammer weggelassen.

Jetzt X auf der linken Seite ausklammern. Aufpassen muss du nur, dass du X nach der richtigen Seite ausklammerst. X steht bei beiden Summanden rechts außen.

02.02.2014, 14:20

m8u2

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okay, also ist das dann so hier richtig:

$\begin{eqnarray*} AX-B^{T}\cdot X = 3C-2B X(A-B^{T}) = 3C-2B X=(3C-2B)\cdot (A-B^{T})^{-1} \end{eqnarray*}$

oder?

02.02.2014, 14:24

Kasen75

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Zitat:

Original von m8u2

$\begin{eqnarray*} AX-B^{T}\cdot X = 3C-2B \end{eqnarray*}$

Da hier, bei beiden Summanden, X ganz rechts steht, wird X nach rechts ausgeklammert.
$\begin{eqnarray*} (A-B^{T})\cdot X = 3C-2B \end{eqnarray*}$

Ansonsten bist du auf dem richtigen Weg.

02.02.2014, 14:34

m8u2

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achso also einfach vertauschen und dann von links ausklammern?

also:

$\begin{eqnarray*} X=(A-B^{T})^{-1}\cdot (3C-2B) \end{eqnarray*}$

stimmt das jetzt?

02.02.2014, 15:08

Kasen75

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Genau.