Lineare Abbildung von Vektoren / Kern + Bild

01.02.2014, 21:51

Snaff

Lineare Abbildung von Vektoren / Kern + Bild

Hallo liebe Freunde der bemannten Raumfahrt smile

Ich beschäftige mich momentan mit linearen Abbildung und hab ein paar Problemchen.
Ich hab versucht die folgende Aufgabe zu lösen und bin mir beim 1.) Teil nicht sicher ob ich die Bedinungen der linearen Abbildung richtig überprüft habe.(Weil es mir sehr leicht fiel und wenn mir etwas bei Mathe leicht fällt, ist es meistens falsch :P)

Desweitern habe ich ein Verständnisproblem beim zweiten Teil der Aufgabe. Wie genau wende ich die Formeln von Bild und Kern an? - und was ist das Bild überhaupt?

Ich hoffe jemand nimmt sich die Zeit und schaut mal drüber smile

LG Snaff

Zitat:

Aufgabenstellung:
$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} x\\ -y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb {R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$

1.) Prüfe ob die folgende Abbildung linear ist.
2.) Bestimme die Dimension von Bild & Kern.

Mein Lösungsansatz für 1.):

Erste Bedingung prüfen:
$\begin{eqnarray*} f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} X_1+x_2\\ y_1+y_2\\ z_1+z_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1+x_2\\ -(y_1+y_2)\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1\\ -y_1\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_2\\ -y_2\\ 0 \end{pmatrix}= =\begin{pmatrix} x_1+x_2\\ -(y_1+y_2)\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Erste Bedinung ist erfüllt.

Die Zweite Bedinung prüfen:
$\begin{eqnarray*} f(\lambda*v) = \lambda*f(v) \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}*\lambda) =\begin{pmatrix} \lambda*x\\ \lambda*-y\\ 0 \end{pmatrix} f(\begin{pmatrix} x\\ -y\\ z \end{pmatrix})*\lambda = \begin{pmatrix} \lambda*x\\ \lambda*-y\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Zweite Bedienung auch erfüllt.

=> Die Abbildung ist linear

2.)

Zitat:

Dimensionssatz: dimV = dimKern + dimBild

$\begin{eqnarray*} Kern(f) = \{ \vec x \in V |f(\vec x) = \vec 0 \} \end{eqnarray*}$
Ich verstehe die Formel so, dass jeder Vektor der Menge V auf den 0 Vektor der Abbildung abgebildet wird???

$\begin{eqnarray*} Bild(f) = \{ f(\vec x)| \vec x \in V \} \end{eqnarray*}$
Diese Formel versteh ich nicht. Ich würde die Dimension des Bildes dann über den Dimensionssatz bestimmen.

Mein Lösungsansatz für den Kern:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} x\\ -y\end{pmatrix} darausfolgt: f(\begin{pmatrix}x \\ -y \end{pmatrix}) =\begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix} x = 0 , y = 0 \end{eqnarray*}$
Die Dimension des Kernes beträgt 0. Daher muss die Dimension des Bildes 3 sein.

01.02.2014, 22:12

Mulder

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RE: Lineare Abbildung von Vektoren / Kern + Bild

Zitat:

Original von Snaff
Erste Bedingung prüfen:

$\begin{eqnarray*} f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} X_1+x_2\\ y_1+y_2\\ z_1+z_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1+x_2\\ -(y_1+y_2)\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1\\ -y_1\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_2\\ -y_2\\ 0 \end{pmatrix}= =\begin{pmatrix} x_1+x_2\\ -(y_1+y_2)\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Erste Bedinung ist erfüllt.

Du meinst wahrscheinlich das richtige, aber diese Gleichheitszeichen sind teilweise ein Fiasko. Richtig sollte es heißen:

$\begin{eqnarray*} f \left ( \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix} \right ) = f \left ( \begin{pmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2\\ z_1+z_2 \end{pmatrix} \right ) =\begin{pmatrix} x_1+x_2\\ -(y_1+y_2)\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \left ( \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \right ) + f \left ( \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix} \right ) =\begin{pmatrix} x_1\\ -y_1\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_2\\ -y_2\\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_1+x_2\\ -(y_1+y_2)\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Snaff
Ich verstehe die Formel so, dass jeder Vektor der Menge V auf den 0 Vektor der Abbildung abgebildet wird???

Der Kern ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Diese Menge bildet einen Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

Das Bild ist die Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , die auch tatsächlich angenommen wird, also die Elemente, die auch wirklich ein Urbild haben. Das Bild ist ein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

Die Dimension von V ist in diesem Fall 3 (Dimension des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ) . Die Summe von Dimension des Kerns und Dimension des Bildes muss also auch 3 sein. Das Bild ist ein UVR des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und kann daher höchstens Dimension 2 haben (hat das Bild auch tatsächlich Dimension 2?). Dementsprechend muss der Kern mindestens Dimension 1 haben (und hat er auch). Versuch nochmal, dir diese beiden Begriffe etwas klarer zu machen. Die musst du verstehen, sonst bist du aufgeschmissen.

02.02.2014, 20:02

Snaff

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Hey Mulder,

danke für deine Antwort Wink

Entschuldige bitte das Fiasko, ich kenne mich noch nicht so gut mit Latex aus.

Deine Erklärung zu dem Bild und dem Kern waren hilfreich. Dennoch hab ich einige Fragen bzw. Verständnisprobleme unglücklich

Mein neuer Lösungsansatz für 2.) lautet:

Bild = 2

Da der Raum von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird.
Ich habe die Einheitsvektoren in die Bedinung eingesetzt.
- Da es vom R^3 in den R^2 abgebildet wird fällt der 3. Vektor weg und die Dimension vom Bild ist 2?
- oder fällt der 3. Vektor weg weil das Bild ein UVR vom R^2 ist?

Kern = 1

- Ist der Kern nicht immer = 1? Laut der Definition enthält der Kern ja immer den Nullvektor?

02.02.2014, 20:49

Mulder

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Zitat:

Original von Snaff
Da der Raum von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird.
Ich habe die Einheitsvektoren in die Bedinung eingesetzt.
- Da es vom R^3 in den R^2 abgebildet wird fällt der 3. Vektor weg und die Dimension vom Bild ist 2?
- oder fällt der 3. Vektor weg weil das Bild ein UVR vom R^2 ist?

Hmm ...

Ja, die Dimension des Bildes ist 2. Ob du aber wirklich verstanden hast, warum das so ist, da bin ich mir noch nicht so ganz sicher. Nochmal: Das Bild ist ja ein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Wir wollen jetzt rausfinden, welche Dimension dieser Untervektorraum hat. Dazu müssen wir erstmal schauen, wie das Bild überhaupt aussieht.

Man sieht doch, dass diese Abbildung surjektiv ist (weise das nach). Vielleicht ist dir das auch schon klar, aber dann hast du es vielleicht missverständlich ausgedrückt. Kann sein, dass ich deine Ausführungen nicht richtig verstehe. Das Bild ist also sogar der komplette $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Und dessen Dimension ist 2, ja.

Der Vektor (0,0) spannt übrigens nichts auf, der Vektor ist ja völlig unspektakulär. Egal, mit welchem Skalar ich den auch multipliziere, es bleibt der Nullvektor.

Zitat:

Original von Snaff
Kern = 1

Das ist auch wieder unsauber (ebenso wie das "Bild =2" weiter oben). Vermutlich meintest du, dass die Dimension des Kerns 1 ist. Schreib das dann bitte auch so. Man ärgert sich ja grün und blau, wenn man wegen sowas womöglich in einer Klausur Punkte liegen lässt.

Zitat:

Original von Snaff
- Ist der Kern nicht immer = 1? Laut der Definition enthält der Kern ja immer den Nullvektor?

Die Dimension des Nullvektorraums (also der Vektorraum, der nur den Nullvektor enthält) ist nach Definition 0, denn die (einzige) Basis des Nullraums ist die leere Menge.

Aber hier liegt ja nicht nur der Nullvektor im Kern, sondern noch unendlich viele andere Vektoren. Wie sieht der Kern denn konktet aus? Schau dir nochmal genau die Abbildungsvorschrift an und finde die Menge der Vektoren, die auf den Vektor (0,0) abgebildet werden (also im Kern liegen). Dann ist die Dimension auch sofort klar (denn für den Kern kannst du dann auch leicht eine Basis angeben).

02.02.2014, 22:41

Snaff

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Hey Mulder,

ich hatte(glaube ich mal) nur einen Denkfehler was den Kern betrifft.
$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} x\\ -y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb {R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$
Als ich den Kern bestimmen wollte bin ich nur von x & y ausgegangen. Also ich hab Werte für x und y gesucht die sich auf den Nullvektor abbilden. Ich kam durch rumprobieren zu dem Schluss, dass nur der Nullvektor des Urbildes auf den Nullvektor des Bildes zeigt.

Das ist aber falsch, ich habe z nicht beachtet. Es gibt beliebig viele Vektoren die auf den Nullvektor des Bildes zeigen.
Zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 3 \end{pmatrix}, ... \end{eqnarray*}$

Ich dachte erst so:
$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} x\\ -y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb {R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$

Hier lautet die Dimension des Kerns 0.

Das hat mich sehr verwirrt weil ich erst dachte, die Dimension des Kerns wäre 1, wenn nur der Nullvektor des Urbildes auf den Nullvektor des Bildes zeigt.

-----------

Ich hoffe das ich es jetzt verstanden habe und meine Schlussfolgerung hier richtig ist.

Vielen Dank auch für die Hinweise auf meine unsaubere Formulierung, es wäre in der Tat sehr ärgerlich deshalb Punkte zu verlieren.

LG smile

Snaff

02.02.2014, 23:56

Mulder

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So haut das hin, ja. Der Kern ist damit der Untervektorraum

$\begin{eqnarray*} U = \left \{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix} \vert \, z \in \mathbb R \right \} \end{eqnarray*}$

des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

Eine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist zum Beispiel durch den Vektor $\begin{eqnarray*} v = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gegeben und die Dimension von U (also des Kerns) damit 1.

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