Cauchy-Schwarz Ungleichung Beweise

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JiH50 Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Schwarz Ungleichung Beweise
Meine Frage:
Guten Abend,

ich komme mit folgender Aufgabe nicht zurecht und hoffe auf eure Hilfe:

" Für zwei Vektoren a und x aus gilt die Cauchy-Schwarz Ungleichung:



wobei |a| der Betrag des Vektors ist.

a) Sei . Zeigen Sie, dass für jedes x aus den reellen Zahlen gilt, wobei die Matrix-Norm von A ist.

b) Sei und . Man definiere die Abbildung als T(x) = Ax + b.

Zeigen Sie, dass T eine Kontraktion ist, falls ||A|| < 1 gilt.

c) Geben Sie eine Matrix mit ||A|| = 1 und einen Vektor b an, so dass die Abbildung T aus b) keine Kontraktion ist.

Auch wenn ihr mir nur bei einer Teilaufgabe hilft, wäre ich euch sehr dankbar. Ich verzweifel einfach an dieser Aufgabe unglücklich

Meine Ideen:
a) Ich bin mir nicht sicher, aber muss man hier mit einem indirekten Beweis argumentieren? Also erst annehmen, dass diese Ungleichung gilt und dadurch irgendwie auf die Cauchy Schwarz Ungleichung kommen?!?! unglücklich Falls ja, hätte ich trotzdem keine Idee, wie man dies machen soll...

b) Was ist eine Kontraktion? In der Vorlesung wurde sowas nie erklärt und aus Google werde ich auch nicht schlauer...

c) Ohne Verständnis für Teilaufgabe b) kann ich diese Aufgabe auch nicht lösen...

Schonmal vielen Dank im Voraus, ich bin für jede Hilfe dankbar!!


Mit freundlichen Grüßen
JiH
JiH50 Auf diesen Beitrag antworten »

Hat niemand einen Ansatz oder ein Tipp für mich?
 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

In Aufgabe a) würde ich beide Seiten der Ungleichung einfach ausrechnen: Bezeichnet man die Zeilen der Matrix A mit , so kann man diese Ungleichung schreiben als



Vergeicht man jeweils die k-ten Summanden auf beiden Seiten, ergibt sich wegen der Schwartzschen Ungleichung



Damit ist der Beweis erbracht, denn wenn alle einzelnen Summanden auf der linken Seite paarweise kleiner sind, muss auch die Summe insgesamt kleiner sein.

Zu Aufgabe c):
Eine Kontraktion T ist eine Abbildung, die das Argument verkürzt, also

JiH50 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Habe es fast verstanden.
Aber was soll a1 zum Quadrat heissen? Ein Zeilenvektor zum Quadrat ? Was bedeutet das? Ist ||A|| zum Quadrat nicht einfach:
Alle Komponenten quadrieren und dann aufsummieren ?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die k-te Zeile der Matrix A habe ich bezeichnet mit



Das Betragsquadrat des k-ten Zeilenvektors ist also



Das Normquadrat ||A||² der Matrix A ist (wie du richtig schreibst) die Summe der Quadrate alle n² Matrixelemente. Das ist aber nichts anderes wie die Summe der Quadrate aller n Zeilenvektoren, also

JiH50 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso! Aber dann müsste man doch auch die Betragsstriche hinschreiben oder nicht?

Dann würde folgendes da stehen?



Korrekt? ^^
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