Geodätische auf Rotationsflächen

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Mathelehrer Auf diesen Beitrag antworten »
Geodätische auf Rotationsflächen
Meine Frage:
Hallo,

bei folgender Aufgabe brauche ich echt hilfe. Vorab shcon mal vielen Dank.
Aufgabe:
Betrachten Sie die Rotationsfläche , die durch Rotation der ebenen Kurve um die z-Achse entsteht. Wir nehmen an, dass diese Kurve der Bogenlänge parametrisiert ist, also , und das r stets positiv ist.

a) Bestimmen Siesowie Kontrolle: hängen weder von h noch von v ab.

b)Geben Sie die Christoffel-Symbole an. Kontrolle: Sie hängen weder von h noch von v ab.

c)Sei nun eine Kurve im Parametergebiet. Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit dies eine Geodätische Kurve ist?

d) Zeigen Sie, dass Meridiane, d.h. Kurven mit v= konstant, stets geodätisch sind.

e) Unter welchen Bedingungen sind Breitenkreise, d.h. Kurven mit u = konstant, Geodätisch?

Meine Ideen:
zu a)


zu b)

kann ich bei annhemen, dass wenn ja warum? weil hier stimmt es ja nicht mit der Kontrolle...

zu c)
zu d)
zu e)
ich verstehe nicht was geodätisch heißt. Kann mir das bitte jemand verständlich auf deutsch und mathe erklären
Mathelehrer Auf diesen Beitrag antworten »

ist es richtig, dass bei der e) der Äquator der einzige Breitenkreis ist, der eine Geodätische Kurve ist? (Im Falle einer Kugel)
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Rotationskörpern sind Geodäten die "Gürtel" um die engsten und die dicksten Stellen (also um die Taille und um den Bauch). Ebenfalls Geodäten sind die Linien senkrecht dazu, welche gewissermaßen "parallel" zur Symmetrieachse liegen.
Mathelehrer Auf diesen Beitrag antworten »

ok wie kann ich dass jetzt auf die Aufgaben c), d) und e) übertragen?
stimmt den die a) und b) wenigstens?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Geodäten sind Linien auf der gekrümmten Flaäche, deren Länge (im Vergleich zu benachbarten Linien) extremal ist. Die Geodäten sind also das Ergebnis einer Variationsaufgabe



Die Euler-Lagrange Gleichung dieser Variationsaufgabe ist folgende Differnzialgleichung mit dem Kurvenparameter . (Quelle: WIKIPEDIA, Stichwort "Geodäte"!)



Dabei habe ich folgende Abkürzung verwendet



Die Matrixelemente der Metrik lauten wie üblich





Da bei deinem Rotationskörper alle Linien mit konstantem v und variablen Kurvenparameter Geodäten sind, müssten diese Differenzialgleichung für den Kurvenparameter erfüllt sein. Dann vereinfacht sich der obige Ausfruck für F, weil . Folglich wird auch die Dgl. einfacher.

Dagegen ist diese Dgl. bei konstantem u und variablem Kurvenparameter nur für jene u erfüllt, wo der Rotationskörper einen Bauch oder eine Taille hat (wo also der Radius r(u) extremal wird, also . Ach hier vereinfacht sich der ähnlich wie oben der Ausdruck für F und somit die Dgl.

Rechne nach, ob die obige Dgl. in beiden Fällen erfüllt ist (=Geodätengleichung). Das wäre der Beweis.
Mathelehrer Auf diesen Beitrag antworten »

sorry aber ich checks nicht.

stimmen den wenigstens die a) und b)?
 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Tangentialvektoren an die Fläche lauten





Die Metrik innerhalb der gekrümmten Fläche ergibt sich aus diesen Tangentialvektoren wie folgt



Die inverse Metrik, deren Matrixelemente in der kovarianten Schreibweise übrigens oben indiziert werden, lautet also



Die Christoffelsymbole kann ich jetzt aus Zeitgründen nicht ausrechnen. Rechne diese ganz formal aus! Man kann sie übrigens auch direkt als den Tangentialvektoren gewinnen (durch Ableiten derselben usw.) - also ohne Metrik. Beschäftige dich nochmals mit dem Stoff und versuche auch, den geometrischen Sinn der Christoffelsymbole zu verstehen.
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