Argumentation für vollst. Induk. richtig?

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goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »
Argumentation für vollst. Induk. richtig?




Ich bin soweit dass ich noch beweisen muss:



Ich hab so argumentiert, dass ich den kleinsten Wert für x genommen habe: 0 und geschaut habe ob damit die Vermutungt stimmt ( stimmt auch ) und mit dem größten Wert für x 1.

Da das für mich etwas unkonventionell aussieht, ist meine Frage: Ist das so akzeptabel, oder habe ich versucht etwas zu machen, das man eigentlich anders lösen sollte ( mit Intervallen oder so). verwirrt
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

du könntest noch ein bisschen umformen, dann wird es noch klarer.
Wenn du dir unsicher bist mit deinem bisherigen Weg, dann solltest du ihn noch posten.

Grüße.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

aber wie soll man das denn noch weiter umformen?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest auf der linken Seite die Klammern ausmultiplizieren.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich mir schon fast gedacht. Aber dann sieht man das doch nicht mehr so gut, oder findest du nicht? Bei meiner Version sieht man das doch deutlicher weil da nur ein x ist oder nicht?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Die -1 fällt jetzt auf beiden Seiten weg. Dann kann man alle bzw. auf die linke Seite schaffen bzw. dort belassen. Dann ausklammern usw.

Ich kam auf eine klarere Ungleichung.
 
 
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich hab da jetzt stehen:

2^n (x - 1) <= x

dann würde ich dazu schreiben, dass (x - 1) von -1 bis 0 reicht und somit kleiner gleich ist als x, stimmts ? smile
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nicht nur x-1 kleiner gleich Null, sondern auch . Und da wie du sagst, x immer größer gleich 0 ist, folgt daraus, dass die linke Seite niemals größer als die rechte Seite wird.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, gut. danke für deine hilfe. ich glaube ich hab dann jetzt den durchblick Freude
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Darf ich überhaupt durch x teilen? x kann doch auch 0 sein, dann dürfte ich das doch gar nicht mehr teilen
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Durch x darfst in der Tat nicht teilen. Wo hast du denn durch x geteilt ?

Wie kamst du eigentlich auf ?
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »



Das will ich ja im Induktionsschluss lösen.



Also sag ich dass ich aus der Induktionsannahme das schließen kann.

Und danach habe ich geguckt ob die in meinen ersten Beitrag genannte Relation stimmt und diese dann so lange umgeformt, bis ich sehen konnte ob die wahr ist. Hab dann an einer Stelle an beiden Seiten das x weggelassen.

Auch wenn das 0 sein könnte, kann ich nicht so argumentieren:

Wenn x null wäre, dann würde die Relation trotzdem stimmen (einsetzen) und somit kann ich 0 weg lassen ( also nicht teilen sondern "streichen" ) hahah, oder ist das gemogelt?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von goldfisch91




Wenn ich hier n um 1 erhöhe steht bei mir da:




bzw.

goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

achso, ja. mein fehler. steht bei mir aufm blatt auch so.

also dadurch dass ich aus der induktionsannahme die tatsache nehme, dass das rechte größter gleich das linke ist, kann ich daraus folgern:

1 + (2^n+1 -1) x (1+x) <= 1 + ( 2^n - 1) x (1 + x)
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du denn bei deiner Umformung gedacht ? Das solltest du genauer dazuschreiben.

Ich habe jetzt für den Ausdruck eingesetzt. Denn der erstere ist ja laut Induktionsannahme kleiner (gleich) als der zweite.



Edit: Und achte unbedingt auf die richtige Klammersetzung.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

ah.. also ich hab jetzt am "ende" stehen.

2^n (x^2 - x) <= x^2

kann ich jetzt sagen dass x^2 - x immer kleiner gleich 0 ist und somit der linke ausdruck immer kleiner gleich 0 ist und somit die relation stimmt? ( da x^2 immer >= 0 ist)
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Schlussfolgerung ist soweit ok. Jedoch habe ich am Ende eine etwas andere Relation dastehen.

Wie gesagt, poste mal deine Rechnung.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

hier
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei deinem Fragezeichen habe ich auf der linken Seite noch eine Klammer:



Somit wird der ganze Ausdruck mit multipliziert.

Ansonsten sieht es ganz gut aus.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ist das jetzt so ok? oder sollte das noch klarer sein die lösung?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, dass du mit der nicht richtigen Klammersetzung natürlich Folgefehler begehst. Deswegen muss du von der Zeile mit dem Fragezeichen nochmal rechnen. Aber du bist auf dem richtigen Weg. smile
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ? Reicht die Argumentation so aus? Oder muss ich da noch irgendwas kommentieren?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde noch kommentieren.

Fall 1: x=1

Fall 2: x=0

Fall 3: 0 < x < 1
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

und bei Fall 3 einfach sagen dass durch 2^n der linke ausdruck immer kleiner wird ...( für n € N )
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Im Fall 3 ist negativ. Somit ist
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke
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