Vektoralgebra / Momentenvektor Komponenten in Richtung anderer Vektoren

05.02.2014, 22:35

shaistalewaney

Vektoralgebra / Momentenvektor Komponenten in Richtung anderer Vektoren

Meine Frage:
Es sind jeweils die Richtungsvektoren a1, a2 und ein Momentenvektor M gegeben.
Es sollen nun die Komponenten des Momentenvektors M in Richtung der Vektoren a1 und a2 angegeben werden.

(Bitte Anhang beachten)
(Die Lösung soll jeweils in Nm angegeben werden und das leere Kästchen davor soll lediglich einen Platzhalter repräsentieren)

Ich würde mich über ausführliche Antworten bedanken

Meine Ideen:
Da als Ergebnis lediglich eine Zahl und kein Vektor rauskommen muss, würde ich mit dem Skalarprodukt hier arbeiten.
Unter den Komponenten des Momentenvektors verstehe ich dessen Beträge, welche in Richtung der Vektoren a1 und a2 angegeben werden müssen. Also muss hier wahrscheinlich normiert werden.
Um die Einheiten würde ich mich im Anschluss erst kümmern, da es einfacher ist.

06.02.2014, 13:50

Ehos

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Du sollst einen gegebenen Vektor in 2 Richtungen (Einheitsvektoren) zerlegen. Gesucht sind also die Koeffizienten C1, C2 folgender Linerakombination

$\begin{eqnarray*} \vec M=C_1\cdot\frac{\vec a_1}{|\vec a_1|}+C_2\cdot \frac{\vec a_2}{|\vec a_2|} \end{eqnarray*}$

Die beiden Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} \frac{\vec a_1}{|\vec a_1|} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{\vec a_2}{|\vec a_2|} \end{eqnarray*}$ geben die beiden Richtungen vor. Um die Koeffizienten C1, C2 zu bekommen, multipliziert man diese Linearkombination mit beiden Einheitsvektoren. Das ergibt folgendes lineare Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \vec M \cdot \frac{\vec a_1}{|\vec a_1|} \\ \vec M \cdot \frac{\vec a_2}{|\vec a_2|} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & \frac{\vec a_2}{|\vec a_2|}\cdot \frac{\vec a_1}{|\vec a_1|} \\ \frac{\vec a_2}{|\vec a_2|}\cdot \frac{\vec a_1}{|\vec a_1|} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1 \\ C_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die beiden Lösungen C1, C2 sind die gesuchten Zahlen.

06.02.2014, 17:53

shaistalewaney

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Ich danke dir für deine schnelle und einleuchtende Antwort.

Ich habe jetzt jeweils die Einheiten mitbetrachtet und erhalte erheblich kleine Werte raus. Darf ich fragen was du für C1 und C2, ohne Einbezug der Einheiten, herausbekommst?
Müsstest ja quasi dasselbe raushaben, lediglich um einige 10^n Stellen verschoben, wenn du die Einheiten erstmal außen vor lässt.

06.02.2014, 20:18

shaistalewaney

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Zitat:

Original von shaistalewaney
Ich danke dir für deine schnelle und einleuchtende Antwort.

Ich habe jetzt jeweils die Einheiten mitbetrachtet und erhalte erheblich kleine Werte raus. Darf ich fragen was du für C1 und C2, ohne Einbezug der Einheiten, herausbekommst?
Müsstest ja quasi dasselbe raushaben, lediglich um einige 10^n Stellen verschoben, wenn du die Einheiten erstmal außen vor lässt.

Muss mich nochmal korrigieren, ich hatte eben einige Fehler entdeckt, welche nun die Aufgabe für mich wieder verwirrend macht. Komme nicht weiter...
Das habe ich nun (keine Einheiten miteinbezogen) bis jetzt raus für das lineare Gleichungssystem. Aber wie berechne ich nun die Koeffizienten ?
Ich wäre über eine ausführliche Hilfestellung sehr dankbar.
(siehe Anhang)

06.02.2014, 21:31

shaistalewaney

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Zitat:

Original von shaistalewaney

Zitat:

Letzter Nachtrag:
Hier meine Werte für die Koeffizienten. Werde diese gleich mal in die Linearkombination einsetzen und schauen, ob diese in Verbindung mit den Einheitsvektoren meinen Momentenvektor ergibt.
Bitte schaut da nochmal drüber, falls ich totalen Unsinn hier gemacht haben sollte.

07.02.2014, 11:09

Ehos

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Ich hatte diese einfache Aufgabe leider falsch verstanden! Ich dachte, dass der Vektor M als Linearkombination der Vektoren a1, a2 dargestellt werden sollte. Das funktioniert aber gar nicht, denn die 3 Vektoren M, a1, a2 sind linear unabhängig. Die Aufgabe war wie folgt gemeint: Man soll den Vektor M auf die beiden Vektoren a1 bzw. a2 projizieren und so feststellen, "welcher Anteil" von M in beide Richtungen zeigt. Gesucht sind also die Projektionen von M auf a1 und a2.

Allgemein ist die Projektion eines Vektors M auf eine Einheitsrichtung n das Skalarprodukt M*n. In unserem Falle habe wir folgenden Vektor M und folgende Einheitsvektoren

$\begin{eqnarray*} \vec M=\begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec n_1=\tfrac{\vec a_1}{|\vec a_1|}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec n_2=\tfrac{\vec a_2}{|\vec a_2|}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Also lauten die Projektionen

$\begin{eqnarray*} \vec M\cdot \vec n_1=\begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix}\cdot \tfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=3\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec M\cdot \vec n_1=\begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix}\cdot \tfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\tfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Die Dimension dieser Werte ist Nm.

07.02.2014, 14:50

shaistalewaney

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Gestern noch dachte ich mir ob ich prüfen soll, ob die Vektoren parallel (also linear abhängig) zueinander sind. Dieser Gedanke ist dann irgendwann in der Ermittlung der jeweiligen Koeffizienten der Linearkombination untergegangen.

Danke für deine Hilfestellungen.

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