Bruchteil eines Rechtecks |
| 07.02.2014, 16:57 | Fundus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Bruchteil eines Rechtecks Die Punkt M und M halbieren die längeren Seiten des Rechtecks. Die Frage ist nun, welcher Bruchteil der Gesamtfläche grau ist. Meine Ideen: Ich habe versucht, mithilfe von Linien verschiedene Bruchteile einzuzeichnen. Leider sehe ich den Zusammenhang noch nicht, welche die Diagonalen im Rechteck erzeugen. (Resultat ist 5/12) |
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| 07.02.2014, 17:15 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Bruchteil eines Rechtecks Ich würde die Figur nicht so zerlegen, wie du es getan hast. Schau dir erst mal die rote Diagonale an, danach die blaue. Wie schneiden sie sich? [attach]33156[/attach] Weiterhin mache dir mal Gedanken zu den dunklen Dreiecken. Gibt es Gemeinsamkeiten? edit: Hier meine ich, du sollst das große mit dem kleinen Dreieck vergleichen. Dass die beiden großen und die beiden kleinen jeweils gleich sind, ist ja klar. 
Es reicht auch, wenn wir uns zunächst auf die Hälfte der Figur beschränken: [attach]33157[/attach] 
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| 07.02.2014, 17:21 | Fundus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Durch den Schnittpunkt der Diagonale rot wird die Diagonale blau im Verhältnis 1:2 getrennt. Dadurch sind dann diese zwei Dreiecke ähnlich. |
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| 07.02.2014, 17:25 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. 
Diese Ähnlichkeit ist wichtig. Vergleiche mal die gelben Seiten der Dreiecke. Und dann überlege dir, in welchem Verhältnis die grünen Strecken zueinander stehen. [attach]33158[/attach]
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| 07.02.2014, 17:34 | Fundus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube irgend etwas steht mir da auf der Leitung. :-) Wirklich genial mit den Farben! Danke! Daran kann ich erkennen, dass das grössere Dreieck nun doppelt so gross ist, wie das kleine! Aber ich krieg das jetzt nicht hin, dies in einem Bruchteil zu betrachten. |
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| 07.02.2014, 17:36 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gehen wir mal von den normalen Rechtecksbezeichnungen aus: [attach]33160[/attach] Wie kannst du dann die längere gelbe Linie benennen? Und wie die kürzere? |
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| 07.02.2014, 17:42 | Fundus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In diesem Falle könnte man die längere Linie als b bezeichnen und die kürzere Linie somit als b/2. Oder ich ist die Frage, wie ich dies auch mit a ausdrücken könnte? |
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| 07.02.2014, 17:44 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig.
Somit hätten wir die Grundseiten der Dreiecke bestimmt. Jetzt schauen wir uns die Höhen an. Wir erinnern uns, das die Dreiecke ähnlich sind. Wenn wir die Höhe des größeren Dreiecks h nennen, wie muss dann die Höhe im kleineren Dreieck heißen? [attach]33161[/attach] Kannst du dir auch Gedanken zum Verhältnis von h zu a machen?
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| 07.02.2014, 17:48 | Fundus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die kürzere grüne Strecke wäre dann h/2 Würde man dies somit durch a ausdrücken: h = a/3 h/2 = a/6 |
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| 07.02.2014, 17:50 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sehr schön.
Dann stelle doch mal die Gleichungen für die Flächen der Dreiecke auf. Wenn du willst, kannst du gleich die Ausdrücke mit a für die jeweiligen Höhen einsetzen.
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| 07.02.2014, 18:01 | Fundus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich gehe jetzt da mal schrittweise vorwärts... Ich würde jetzt beide zusammen zählen: A = (g*h)/2 + (g*h)/4 A = (b*a/3)/2 + (b/2*a/6)/4 Kann ich dann nachher somit sagen: A = ab/6 + ab/48 A = 9ab/48 |
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| 07.02.2014, 18:05 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum teilst du durch 4? Du berücksichtigst die kleineren Strecken ja schon angemessen.
So wird es richtig: A = (g1*h1)/2 + (g2*h2)/2 (Ich habe g und h mal mit Indizes versehen, um sie zu unterscheiden) A = (b*a/3)/2 + (b/2*a/6)/2 Ich muss nun leider erst mal off, Abendessen. Bin in spätestens 1 Stunde wieder hier.
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| 07.02.2014, 18:24 | Fundus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zuerst einmal ein grosses Dankeschön für die Riesengeduld. :-) Stimmt, wenn ich ja bereits schon b/2 und a/6 einsetze ist dies mit /4 falsch! Wenn ich also wieder von dem ausgehe: A = (b*a/3)/2 + (b/2*a/6)/2 A = ab/6 + ab/24 Nun habe ich ja beide Flächen 2x: A = 2*(ab/6) + 2*(ab/24) A = 4ab/12 + ab/12 A = 5ab/12 Glaube jetzt bin ich auf dem richtigen Weg, oder? |
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| 07.02.2014, 18:44 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, du bist eigentlich fertig.
Vollkommen richtig.
Man könnte auch schreiben: A = 5/12 ab. Nun musst du nur noch wissen, welche Fläche das Rechteck hat.
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| 07.02.2014, 18:57 | Fundus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super, alles klar soweit! Danke vielmals. Da keine Fläche oder sonstige Grössen an dem Rechteck gegeben sind, reicht mir das soweit. Aber nur noch eine Frage zum Schluss: Gibt es da wirklich keine einfachere Möglichkeit? 
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| 07.02.2014, 19:02 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das war doch einfach.
Du musst nur erkennen, dass die Dreiecke ähnlich sind, bzw. dass das kleine Dreieck jeweils die halbe Grundseite und die halbe Höhe des großen Dreiecks hat, schon kann man die Flächengleichung aufstellen. Durch den Dialog im Netz dauert die Angelegenheit etwas länger, aber im Grunde ist das eine ganz einfache Rechnung. Bin natürlich offen für jeden Vorschlag, wie man die Aufgabe noch einfacher lösen kann.
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