Verteilungsfunktion

08.02.2014, 15:00

1nstinct

Verteilungsfunktion

Hallo zusammen,

Ich breite mich gerade auf die Klausur vor und bin bei folgender Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} X_n,\, n\in \mathbb N \cup \left\{ 0\right\} \text {und}\, N \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallvariablen.

$\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ sei Poissonverteit zu $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Die Verteilungsfunktion der $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ .

Gesucht ist die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} Y:=inf\left\{X_0,..,X_N\right\} \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} F_Y(t)=P(Y\leq t)=P(inf\left\{X_0,..,X_N\right\}\leq t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1-P(inf\left\{X_0,..,X_N\right\}>t)=1-P(\bigcap_{k=0}^NX_k>t)=1-P(X_0>t)^{N+1}=1-(1-F(t))^{N+1} \end{eqnarray*}$

Nun weiss ich allerdings nicht, was ich mit den $\begin{eqnarray*} N+1 \end{eqnarray*}$ anfangen soll. Ich muss diese noch durch $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ausdrücken.

Ich würde mich über Hilfe sehr freuen, MfG

08.02.2014, 15:34

HAL 9000

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Berechne erstmal die bedingte Verteilung

$\begin{eqnarray*} P(Y\leq t \mid N=n) = P(\inf\{X_0,\ldots,X_N\}\leq t \mid N=n) \stackrel{!}{=} P(\inf\{X_0,\ldots,X_n\}\leq t) \end{eqnarray*}$ ,

anschließend ergibt sich als totale Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P(Y\leq t) = \sum_{n=0}^{\infty} P(Y\leq t \mid N=n)\cdot P(N=n) \end{eqnarray*}$ .

08.02.2014, 16:32

1nstinct

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Abermals vielen Dank für deine Hilfe HAL,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(Y\leq t \mid N=n) = P(\inf\{X_0,\ldots,X_N\}\leq t \mid N=n) \stackrel{!}{=} P(\inf\{X_0,\ldots,X_n\}\leq t) \end{eqnarray*}$ ,

Ich komme auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} P(Y\leq t \mid N=n) = P(\inf\{X_0,\ldots,X_N\}\leq t \cap \left\{N=n\right\}) \cdot \frac 1{P(N=n)}= P(\inf\{X_0,\ldots,X_n\}\leq t)\cdot \frac 1{P(N=n)} \end{eqnarray*}$

(Was aber ja das selbe ist, wenn man P(N=n)=1 betrachtet, worauf du ja hinauswolltest.)

Also gilt dann:

$\begin{eqnarray*} P(Y\leq t) = \sum_{n=0}^{\infty} P(Y\leq t \mid N=n)\cdot P(N=n)= \sum_{n=0}^{\infty}1-(1-F(t))^{n+1}\cdot e^{-\lambda}\frac {\lambda^n}{n!} \end{eqnarray*}$

MfG

08.02.2014, 18:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von 1nstinct
(Was aber ja das selbe ist, wenn man P(N=n)=1 betrachtet, worauf du ja hinauswolltest.)

Darauf wollte ich gewiss nicht hinaus, das ist ja falsch - es ist allenfalls in der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_n P(N=n)=1 \end{eqnarray*}$ unglücklich

Ich meinte es genauso, wie ich es geschrieben habe.

Ok, noch ein Zwischenschritt: Es ist

$\begin{eqnarray*} P(\inf\{X_0,\ldots,X_N\}\leq t \mid N=n) \stackrel{(1)}{=} P(\inf\{X_0,\ldots,X_n\}\leq t \mid N=n) \stackrel{(2)}{=} P(\inf\{X_0,\ldots,X_n\}\leq t) \end{eqnarray*}$ .

Gleichheit (1) gilt, weil unter der Bedingung ja $\begin{eqnarray*} N=n \end{eqnarray*}$ , also fix ist.

Gleichheit (2) gilt, weil Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X_0,X_1,\ldots \end{eqnarray*}$ unabhängig ist.

08.02.2014, 18:23

1nstinct

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Dann verstehe ich nicht ganz, was es noch zu zeigen gibt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(Y\leq t \mid N=n) = P(\inf\{X_0,\ldots,X_N\}\leq t \mid N=n) \stackrel{!}{=} P(\inf\{X_0,\ldots,X_n\}\leq t) \end{eqnarray*}$ ,

Wenn $\begin{eqnarray*} N=n \end{eqnarray*}$ gilt, folgt dann nicht das zweite "=" trivialerweise?

MfG

Edit: Ich hatte deinen Edit nicht gesehen, entschuldige.

Edit 2:

Ich verstehe die Zwischenschritte, vielen Dank.

Stimmt denn mein weiteres Vorgehen?

MfG

08.02.2014, 21:28

HAL 9000

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Du meinst

Zitat:

Original von 1nstinct
$\begin{eqnarray*} P(Y\leq t) = \sum_{n=0}^{\infty} P(Y\leq t \mid N=n)\cdot P(N=n)= \sum_{n=0}^{\infty}1-(1-F(t))^{n+1}\cdot e^{-\lambda}\frac {\lambda^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Abgesehen davon, dass unbedingt notwendige Klammern fehlen:

$\begin{eqnarray*} P(Y\leq t) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( 1-(1-F(t))^{n+1} \right) \cdot e^{-\lambda}\frac {\lambda^n}{n!} \end{eqnarray*}$

ist es Ok - und natürlich kann und sollte das ganze noch vereinfacht werden. Augenzwinkern