Skalarprodukt - Punkt bestimmen

09.02.2014, 15:48

netik

Skalarprodukt - Punkt bestimmen

Aufgabe: "Suche einen Punkt P auf der z-Achse, so dass Winkel APB = 90°, wenn A(2/-2/3) und B(-2/1/4)."

Mein Ansatz:
Vom Punkt P (1x/1y/1z) aus ziehe ich zwei Vektoren zu Punkt A und B. Deren Komponenten ergeben sich aus den Ortsvektoren der Punkte:

$\begin{eqnarray*} \vec{pa} = (2-x / -2-y / 3-z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{pb} = (-2-x / 1-y / 4-z) \end{eqnarray*}$

Wenn der Winkel zwischen den beiden Vektoren pa und pb 90° sein soll, so ist das Skalarprodukt 0:
$\begin{eqnarray*} \cos(90°) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|a| * |b|} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|a| * |b|} \end{eqnarray*}$
Damit würde ich jedoch einen Bruch mit Wurzel, X, Y und Z im quadrat erhalten, das kann es ja irgendwie nicht sein.

Bin ich auf dem Holzweg?

09.02.2014, 16:26

opi

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Ein Punkt auf der z-Achse hat die handlichen Koordinaten $\begin{eqnarray*} P(0|0|z). \end{eqnarray*}$ smile

Danach genügt die Betrachtung des Skalarprodukts, da sie der Nenner der "großen Winkelformel" wegmultiplizieren läßt.

10.02.2014, 14:07

netik

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Hallo Opi, Vielen Dank, das hab ich mal völlig übersehen. smile

Trotzdem komme ich irgendwie noch zu keinem Resultat:

$\begin{eqnarray*} \vec{PA} = (2 | -2 | 3 - z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{PB} = (-2 | 1 | 4 - z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos{90°} = \frac{\vec{PA} \cdot \vec{PB}}{|\vec{PA}|\cdot|\vec{PB}|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{2\cdot -2 + -2 \cdot 1 + (3-z) \cdot (4-z)}{\sqrt{2^2 + -2^2+ (3-z)^2}\cdot \sqrt{-2^2+1^2+(4-z)^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{-4-2+12-3z-4z+z^2}{\sqrt{4+4+9+z^2}\cdot \sqrt{4+1+16+z^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{-6-7z+z^2}{\sqrt{17+z^2}\cdot \sqrt{21+z^2}} \end{eqnarray*}$

Irgendwas übersehe ich wohl traurig

10.02.2014, 14:45

opi

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Zitat:

Original von netik
Irgendwas übersehe ich wohl

Ja. Du hast eine Null übersehen und einen Vorzeichenfehler gemacht:
$\begin{eqnarray*} {\color{red}0}= \frac{{\color{red}+}6-7z+z^2}{\sqrt{17+z^2}\cdot \sqrt{21+z^2}} \end{eqnarray*}$
Wenn Du jetzt noch den Nenner ignorierst (oder wegmultiplizierst) bleibt nur noch $\begin{eqnarray*} z^2-7z+6=0 \end{eqnarray*}$
Diese Gleichung läßt sich lösen. smile

10.02.2014, 15:34

netik

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Danke Opi

, die 0 war ich mir durchaus bewusst, allerdings wusste ich nicht, dass man eine Gleichung dividieren/(multiplizieren) darf, wenn eine Seite 0 beträgt. Dann wäre ja z.B.

$\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{2}=0 \to x = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x-2=0 (\cdot 2) \to x = 2 \end{eqnarray*}$

10.02.2014, 16:16

opi

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Zitat:

Original von netik
$\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{2}=0 \to x = 1 \end{eqnarray*}$

Aber nur, wenn Du fälschlicher- und verbotenerweise einzeln aus einer Summer kürzt.

Wenn Du Nullstellen eines Bruchs suchst, reicht generell die Betrachtung des Zählers, denn $\begin{eqnarray*} \frac{0}{\text{irgendetwas außer 0}} \end{eqnarray*}$ ist immer Null.

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