Übungen zur Teilbarkeit |
11.02.2014, 00:11 | Steffi~ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Übungen zur Teilbarkeit ich hab eine Übungsaufgaben über das Thema "Teilbarkeit": Wenn sind, dann können und keine ganzen Zahlen sein. Könnt ihr mir sagen, wie man das lösen kann? Viele Grüße Steffi |
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11.02.2014, 01:35 | Nobundo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Übungen zur Teilbarkeit Wieso können das keine ganzen Zahlen sein? |
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11.02.2014, 08:50 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Übungen zur Teilbarkeit
Es ist wohl gemeint, dass jeweils beide Ausdrücke keine ganzen Zahlen sein können, also auch . |
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11.02.2014, 09:45 | Steffi~ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, genau. Es ist gemeint, dass es nicht möglich ist, dass sowohl als auch eine ganze Zahl ist. Wäre für Tipps echt dankbar, da ich keinen Plan hab, wie ich das machen soll. |
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11.02.2014, 15:23 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, ich habe länger darüber nachgedacht, diese aufgabe ist schon ziemlich knifflig. Also, wenn ganz ist, dann muss ja der nenner von dem bruch durch 18 teilbar sein, und das geht nur, wenn der nenner von durch 6 und der von durch 3 teilbar ist (oder umgekehrt) oder wenn ein nenner durch 9 und der andere durch 2 teilbar ist. Und in all diesen fällen kann dann nicht mehr ganz sein, weil durch das potenzieren mit 3 in den nenner zu hohe 3er-potenzen entstehen würden... gruss ollie3 |
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11.02.2014, 16:06 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso das? Siehe und . --------------------------- Ich versuch mal einen indirekten Beweis: Es seien und ganze Zahlen. Dann ist und weiter dann mit (wobei p,q teilerfremd) . a) Angenommen : Dann ist der Nenner durch , der Zähler aber wegen maximal durch teilbar, Widerspruch. b) Angenommen : Dann ist der Nenner durch , der Zähler aber wegen maximal durch teilbar, auch Widerspruch. Daher muss , mithin dann gelten. Mit a = folgt woraus und damit folgt, Widerspruch zu . |
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11.02.2014, 16:12 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum sollte der Nenner von durch 18 teilbar sein, damit ? Wenn man schreibt , sowie , dann könnten sich Zähler und Nenner von und gegenseitig kompensieren. Beispiel: Edit: Ah, heute ist der Tag der freiwilligen Helferlösungen. Ich hätte mich auch gerne noch dran versucht. Jetzt darf ich zumindest nicht leuern. |
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12.02.2014, 01:06 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man sollte erst mal folgendes feststellen: Seien und mit den Primfaktorzerlegungen . Die Indexmenge lässt sich in drei disjunkte Teilmengen zerlegen: mit . Sei , dann gilt: . Es muss also gelten: Nun ist aber für sowie für Also müssen die Indexmengen leer sein, d.h. jeder Primfaktor muss sowohl in wie auch in mit derselben Multiplizität vorkommen, was nichts anderes heißt als . Soll nun der Ausdruck eine ganze Zahl sein, so muss sowohl bzw. als auch bzw. gelten, da sonst die Primfaktoren 2 und 3 in den Summanden und im Nenner mit unterschiedlicher Multiplizität vorkommen würden, was nach den obigen Überlegungen nicht sein darf. Die Nenner enthalten also nur Primfaktoren ungleich 2 und 3, und diese mit derselben Multiplizität. Also lassen sich in die Nenner nicht wegkürzen, der Ausdruck kann also nicht ganzzahlig sein. |
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12.02.2014, 11:24 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schön, das gleich mal in allgemeineren Kontext anzugehen. Man könnte vielleicht den Indexkrieg etwas reduzieren für die Aussage im ersten Teil: Wenn wir bezeichnen mit dann und mit teilerfremden , so folgt Aus folgt dann , was mit zu führt, analog dann auch . Womit wir bei wären. |
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12.02.2014, 13:03 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@HAL Das ist allerdings übersichtlicher und spart viel Schreibarbeit. |
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