Übungen zur Teilbarkeit

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Steffi~ Auf diesen Beitrag antworten »
Übungen zur Teilbarkeit
Hallo,

ich hab eine Übungsaufgaben über das Thema "Teilbarkeit":

Wenn sind, dann können und keine ganzen Zahlen sein.

Könnt ihr mir sagen, wie man das lösen kann?

Viele Grüße

Steffi
Nobundo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Übungen zur Teilbarkeit
Wieso können das keine ganzen Zahlen sein?





verwirrt
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Übungen zur Teilbarkeit
Zitat:
Original von Nobundo
Wieso können das keine ganzen Zahlen sein?





verwirrt


Es ist wohl gemeint, dass jeweils beide Ausdrücke keine ganzen Zahlen sein können, also auch .
Steffi~ Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. Es ist gemeint, dass es nicht möglich ist, dass sowohl als auch eine ganze Zahl ist.
Wäre für Tipps echt dankbar, da ich keinen Plan hab, wie ich das machen soll. verwirrt
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
ich habe länger darüber nachgedacht, diese aufgabe ist schon ziemlich knifflig.
Also, wenn ganz ist, dann muss ja der nenner von dem bruch
durch 18 teilbar sein, und das geht nur, wenn der nenner von durch 6 und der von
durch 3 teilbar ist (oder umgekehrt) oder wenn ein nenner durch 9 und der andere durch 2 teilbar ist.
Und in all diesen fällen kann dann nicht mehr ganz sein, weil durch das
potenzieren mit 3 in den nenner zu hohe 3er-potenzen entstehen würden...
gruss ollie3
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ollie3
Also, wenn ganz ist, dann muss ja der nenner von dem bruch durch 18 teilbar sein

Wieso das? Siehe und .

---------------------------

Ich versuch mal einen indirekten Beweis: Es seien und ganze Zahlen. Dann ist und weiter dann mit (wobei p,q teilerfremd)

.


a) Angenommen : Dann ist der Nenner durch , der Zähler aber wegen maximal durch teilbar, Widerspruch.

b) Angenommen : Dann ist der Nenner durch , der Zähler aber wegen maximal durch teilbar, auch Widerspruch.


Daher muss , mithin dann gelten. Mit a = folgt



woraus und damit folgt, Widerspruch zu .
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ollie3

Also, wenn ganz ist, dann muss ja der nenner von dem bruch
durch 18 teilbar sein, und das geht nur, wenn der nenner von durch 6 und der von
durch 3 teilbar ist (oder umgekehrt) oder wenn ein nenner durch 9 und der andere durch 2 teilbar ist.

Warum sollte der Nenner von durch 18 teilbar sein, damit ? Wenn man schreibt , sowie , dann könnten sich Zähler und Nenner von und gegenseitig kompensieren. Beispiel:


Edit: Ah, heute ist der Tag der freiwilligen Helferlösungen. Augenzwinkern Ich hätte mich auch gerne noch dran versucht. Jetzt darf ich zumindest nicht leuern.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Man sollte erst mal folgendes feststellen:
Seien und mit den Primfaktorzerlegungen

.

Die Indexmenge lässt sich in drei disjunkte Teilmengen zerlegen: mit .

Sei , dann gilt:

.

Es muss also gelten:



Nun ist aber für



sowie für



Also müssen die Indexmengen leer sein, d.h. jeder Primfaktor muss sowohl in wie auch in mit derselben Multiplizität vorkommen, was nichts anderes heißt als .

Soll nun der Ausdruck eine ganze Zahl sein, so muss sowohl bzw. als auch bzw. gelten, da sonst die Primfaktoren 2 und 3 in den Summanden und im Nenner mit unterschiedlicher Multiplizität vorkommen würden, was nach den obigen Überlegungen nicht sein darf.

Die Nenner enthalten also nur Primfaktoren ungleich 2 und 3, und diese mit derselben Multiplizität. Also lassen sich in die Nenner nicht wegkürzen, der Ausdruck kann also nicht ganzzahlig sein.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Schön, das gleich mal in allgemeineren Kontext anzugehen. Freude

Man könnte vielleicht den Indexkrieg etwas reduzieren für die Aussage im ersten Teil:

Wenn wir bezeichnen mit dann und mit teilerfremden , so folgt



Aus folgt dann , was mit zu führt, analog dann auch . Womit wir bei wären.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL
Das ist allerdings übersichtlicher und spart viel Schreibarbeit.
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