Zu zeigen: Dilatationen sind affine Abbildungen

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MartinL Auf diesen Beitrag antworten »
Zu zeigen: Dilatationen sind affine Abbildungen
Moin,

ich bins wieder mit einem Problem. Ich soll zeigen, dass Dilatationen affine Abbildungen sind. Ich weiß, wenn eine Abbildung eine Dilatation mit Zentrum ist, gibt es ein , so dass ist.

ist außerdem genau dann eine affine Abbildung, wenn eine lineare Abbildung existiert mit

Kann mir jemand einen Ansatz verraten? Ich muss ja wahrscheinlich irgendwie das Streckungszentrum mit einbauen aber ich weiß nicht, wie ich das in meine Gleichung bekomme.

Gruß
Martin
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreibe die Defintionen mal etwas übersichtlicher:

Dilatation:
Wenn die Abbildung D eine Dilataion mit dem Zentrum ist, so existiert eine Zahl , so dass für alle Vektoren gilt oder umgestellt

Affine Abbildung
ist genau dann eine affine Abbildung, wenn eine lineare Abbildung A (=Matrix) existiert, so dass
----------------------
Zum Beweis, dass eine Dilatation D eine affine Abbildung darstellt, ersetzen wir in der 2.Definition die Abbildung durch die Dilatation D aus der 1.Definition, also



Die Abbildung auf der rechten Seite ist offenbar eine einfache "Streckung" des Differenzvektors um den Faktor . Eine solche Streckung ist natürlich eine lineare Abbildung, nämlich das -fache der Einheitsmatrix E. Die lineare Abbildung lautet also .
w.z.b.w.
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh, ich glaube nicht, dass ich das so machen darf. Dafür muss doch der affine Raum ein Vektorraum sein. Das muss ja nicht gegeben sein. gilt also gar nicht unbedingt.

Zumindest habe ich es so verstanden, dass der Affine Raum sich erst einmal nur aus einer Menge X zusammen setzt und dass eine Abbildung existiert, so dass die partielle Abbildung:

bijektiv ist
und außerdem muss gelten:


Mehr habe ich doch nicht oder?

Ansonsten habe ich deinen Beweis verstanden. Ich habe wie gesagt nur die Befürchtung, dass die Prämisse nicht gegeben ist, welche erlaubt, die Definition so umzuschreiben.

Gruß
Martin
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vorsicht! Das , das du soeben zitierst, ist nicht das der Aufgabe. Das aus den Axiomen ist in der Aufgabe der Pfeil. Und das Axiom von Chasles:



würde mit den Schreibweisen der Aufgabe so lauten:



Jetzt zur Aufgabe selbst.

Für einen Vektor definiere . Gemäß dieser Definition gilt



Jetzt mußt du noch nachweisen, daß zum selben Ergebnis führt. Denke an das Axiom von Chasles (siehe oben) und setze speziell . Die Summanden links kannst du mittels der Definition der Dilatation umformen.
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das war mir klar, dass das der Pfeil ist. Ich wollte nur noch mal die allgemeine Definition anbringen um zu sagen, dass man den Pfeil halt nicht einfach auseinanderziehen und ein "-" dazwischen setzten darf.

Deins klingt nach nem guten Ansatz. Ich hatte schon mit dem Gedanken gespielt, mir die lineare Abbildung irgendwie clever selbst zu bauen aber ich bin nicht drauf gekommen.

Ich probiers mal aus smile
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs mal probiert und es müsste jetzt auch stimmen. Danke sehr, du hast mich erleuchtet Augenzwinkern Ich hatte nämlich noch ein Verständnisproblem bei der Dilatation. Irgendwie hatte ich abgespeichert, dass der Streckungsfaktor nicht eindeutig ist (was ja gar keinen Sinn macht...) aber mit dieser Vorstellung kommts am Ende nicht hin Augenzwinkern

Also mit deiner Definition für : gilt wie du auch schon geschrieben hast:



Jetzt habe ich mir wie von dir vogeschlagen angeschaut und komme auf folgendes:

 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

That's it!

Natürlich werden dabei weitere Regeln verwendet, wie zum Beispiel . Diese sind aber unmittelbare Folgerungen aus den Axiomen und können, sofern sie schon einmal gefolgert wurden, dann auch eingesetzt werden.
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das haben wir alles gemacht, steht ziemlich vorn im Skript. Ich merke einfach, dass ich mich noch nicht lange genug mit der Materie beschäftige. Ich bin noch ziemlich eingeschränkt auf das, was wirklich vor mir liegt. Dieses ganze Affin zu Linear und Linear und Affin im Wechsel bereitet mir oft noch Kopfzerbrechen. Aber das wird schon noch Augenzwinkern

Gruß
Martin
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Im Vektorraum gibt es eine Hierarchie: Nullvektor, Basis, Orientierung und so fort. Ihm ist sozusagen die Idee des Koordinatensystems inhärent. Das Konzept des affinen Raumes ist es hingegen, Gleichberechtigung zwischen den Objekten herzustellen. Da man allerdings fürs Rechnen auf die Algebra nicht verzichten will, muß man letztlich doch einen Vektorraum mitführen, der allerdings immer an die Stelle gelegt wird, wo man ihn gerade braucht.
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