Schnittgerade 3 Ebenen

11.02.2014, 18:39

Duinne

Schnittgerade 3 Ebenen

Meine Frage:
Hey Leute,

ich habe ein paar Schwierigkeiten mit der Berechnung einer Schnittgeraden:

Folgendes LGS ist gegegeben:

$\begin{eqnarray*} E_{1}: x-y-z=-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{2}: 3x+y-z=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{3}: 4x+8y-2z=7 \end{eqnarray*}$

Wie stellt man dazu eine Schnittgerade auf?

Meine Ideen:
Bei zwei Ebenen setze ich x3=t und berechne dann x1 und x2.
Da das LGS eine Lösungsvielfalt hat und damit alle drei Ebenen sich in einer Geraden schneiden müssen, reicht es dann aus, eine Schnittgerade mit zwei Ebenen aufzustellen?

Grüße
Duinne

11.02.2014, 19:05

Leopold

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Wenn von drei Ebenen keine zwei identisch sind, dann gibt es fünf mögliche Fälle:

1. Alle drei Ebenen sind echt-parallel.
2. Genau zwei der drei Ebenen sind echt-parallel.
3. Die Ebenen begrenzen ein unendliches dreiseitiges Prisma.

In diesen drei Fällen ist das Gleichungssystem unlösbar. Ob der 1. oder 2. Fall vorliegt, kann man an der linearen Abhängigkeit der Normalenvektoren feststellen. Gibt es keine Abhängigkeiten und ist das Gleichungssystem unlösbar, so muß der 3. Fall vorliegen.

4. Die Ebenen haben eine gemeinsame Schnittgerade.

In diesem Fall gibt es unendlich viele Lösungen. Diese bilden die Schnittgerade. Der 4. Fall liegt vor, wenn beim Gauß-Algorithmus eine Gleichung ganz wegfällt.

5. Die Ebenen schneiden sich in einem Punkt.

Das Beste habe ich mir bis zum Schluß aufgehoben. Der 5. Fall ist in gewissem Sinn der "Normalfall". Die Ebenen liegen so wie die Koordinatenebenen, nur im Regelfall schräg zueinander. So wie die Koordinatenebenen nur den Ursprung gemeinsam haben, haben die drei Ebenen genau einen Punkt gemeinsam.

Man überprüft zunächst, ob man Fall 1 und Fall 2 ausschließen kann. Das sieht man sofort. Dann löst man das Gleichungssystem nach dem Gaußschen Algorithmus. Die Fälle 3 oder 4 oder 5 stellen sich dann von selber ein.

Und wie sieht es hier konkret aus?

12.02.2014, 09:12

Duinne

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Schnittgerade 3 Ebenen
Danke für die Antwort. Allerdings hilft mir das bei meiner Frage nicht weiter.
Ich möchte wissen, wie man eine Schnittgerade für drei Ebenen aufstellt. Sie schneiden sichnämlich alle in einer.
Kannst du mir das erklären?

Gruß
Duinne

12.02.2014, 09:24

klarsoweit

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RE: Schnittgerade 3 Ebenen

Zitat:

Original von Duinne
Meine Ideen:
Bei zwei Ebenen setze ich x3=t und berechne dann x1 und x2.

Das kann funktionieren, muß es aber nicht. In diesem Fall ist aber die Frage, wie du das machen willst, da die Variablen x1, x2 und x3 in deinen Gleichungen gar nicht auftauchen.

Letztendlich mußt du mit den Gleichungen das Gaußverfahren durchführen. Erst dann kann man entscheiden, welche Variable als Parameter zu wählen ist.

12.02.2014, 10:25

Duinne

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RE: Schnittgerade 3 Ebenen
Mh, statt x,x2,x3 geht es natürlich um x,y,z.

Vorweg habe ich noch einen Fehler in den Ausgangsgleichungen. Hier nochmal die korrekten Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} E_{1}: x-y-z=-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{2}: 3x+y-z=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{3}: 4x+8y+2z=7 \end{eqnarray*}$

Nun das Gaußverfahren:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & -1 & -1 \\ 4 & 8 & 2 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Z2 - 3Z1

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 2 & 5 \\ 4 & 8 & 2 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Z3 - 4Z1

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 2 & 5 \\ 0 & 12 & 6 & 15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Z3 - 3Z2

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da die letzte Zeile eine Nullzeile ist, würde ich z=t setzen.

$\begin{eqnarray*} z=t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4y-2t=5\Rightarrow y=1,25+0,5t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x-1,25+0,5t-t=-2\Rightarrow x=-0,75+0,5t \end{eqnarray*}$

Das wäre dann folgende Schnittgerade.

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} =\begin{pmatrix} -0,75 \\ 1,25 \\ 0 \end{pmatrix}+ t\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich nun die dritte Ebene einbringen?

12.02.2014, 10:31

Duinne

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RE: Schnittgerade 3 Ebenen
Ich habe gerade festgestellt, dass, wenn ich die erhaltende Geradengleichung in die Gleichung E3 einsetze, ich t=0 erhalte. Wenn ich die 0 einsetze, ist die Gleichung eine wahre Aussage. Bedeutet das, dass die dritte Ebene ebenfalls diese Schnittgerade hat?

12.02.2014, 11:12

klarsoweit

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RE: Schnittgerade 3 Ebenen

Zitat:

Original von Duinne
Da die letzte Zeile eine Nullzeile ist, würde ich z=t setzen.

Das ist in diesem Fall richtig, stimmt aber im allgemeinen nicht

Zitat:

Original von Duinne
Ich habe gerade festgestellt, dass, wenn ich die erhaltende Geradengleichung in die Gleichung E3 einsetze, ich t=0 erhalte. Wenn ich die 0 einsetze, ist die Gleichung eine wahre Aussage. Bedeutet das, dass die dritte Ebene ebenfalls diese Schnittgerade hat?

Ich weiß jetzt nicht, was du gerechnet hast, aber Fakt ist, daß die Gerade g alle 3 Gleichungen erfüllt (schließlich wurde sie ja aus diesen errechnet). Anders gesagt: die 3 Ebenen schneiden sich genau in der besagten Gerade g.

12.02.2014, 11:45

Duinne

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RE: Schnittgerade 3 Ebenen
Das mit den Variablen als Parameter setzen ist noch ein bisschen schwammig.
Du hast mir neulich glaube ich bei einer anderen Aufgabe gesagt, dass eigentlich das erste Nicht-Nullelement frei wählbar ist. Nun wäre das ja hier x und y. Das erscheint mir wenig sinnvoll.
Könntest du mir also noch einmal erläutern, warum man in diesem Fall z nimmt bzw. wann man welche Variablen frei wählen kann?

Gruß
Duinne

12.02.2014, 12:13

klarsoweit

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RE: Schnittgerade 3 Ebenen

Zitat:

Original von Duinne
Du hast mir neulich glaube ich bei einer anderen Aufgabe gesagt, dass eigentlich das erste Nicht-Nullelement frei wählbar ist. Nun wäre das ja hier x und y. Das erscheint mir wenig sinnvoll.

Möglicherweise hast du dir das falsch gemerkt. Die jeweils ersten Nicht-Nullelemente sind nicht frei wählbar. Frei wählbar ist dann der "Rest". smile

12.02.2014, 12:26

Duinne

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RE: Schnittgerade 3 Ebenen
Achherje, gut, dass wir das nochmal aufgreifen ^^

Demnach kann es ja nur z sein. Dann muss ich mir das nur richtig merken...

Vielen Dank =)

12.02.2014, 13:43

Leopold

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Zitat:

Original von Duinne
Meine Frage:
Folgendes LGS ist gegegeben:

$\begin{eqnarray*} E_{1}: x-y-z=-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{2}: 3x+y-z=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{3}: 4x+8y-2z=7 \end{eqnarray*}$

Wie stellt man dazu eine Schnittgerade auf?

Zitat:

Original von Duinne
Mh, statt x,x2,x3 geht es natürlich um x,y,z.

Vorweg habe ich noch einen Fehler in den Ausgangsgleichungen. Hier nochmal die korrekten Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} E_{1}: x-y-z=-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{2}: 3x+y-z=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{3}: 4x+8y+2z=7 \end{eqnarray*}$

Verdammt ärgerlich, wenn die Angaben nicht stimmen. Ich war nämlich irritiert, daß die Unterstellung, die Ebenen würden sich in einer Geraden schneiden, gar nicht zutrifft, und habe deshalb zu einer umfänglichen Diskussion der möglichen Fälle ausgeholt. Aber Duinne ändert einfach eine Zahl ab. Und jetzt paßt alles. Wirklich ärgerlich.

Dennoch war auch Duinnes Fall in meiner Stellungnahme enthalten. Wenn es ihm nicht weitergeholfen hat, dann liegt es wohl daran, daß er sich damit nicht auseinandergesetzt hat.

Zitat:

Original von Leopold
4. Die Ebenen haben eine gemeinsame Schnittgerade.

In diesem Fall gibt es unendlich viele Lösungen. Diese bilden die Schnittgerade. Der 4. Fall liegt vor, wenn beim Gauß-Algorithmus eine Gleichung ganz wegfällt.

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