Skalarprodukt und Winkel berechnen

12.02.2014, 09:28

decsis

Skalarprodukt und Winkel berechnen

Guten Morgen, ich verzweifle an folgender Aufgabe:

Gegeben:
- $\begin{eqnarray*} |\vec{a} = 4| \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} |\vec{b}=3| \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} \mbox{Winkel(}\vec{a},\vec{b}\mbox{)}=60° \end{eqnarray*}$

Gesucht:
- Skalarprodukt und Winkel zwischen den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \vec{u}=2\vec{a}+\vec{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v}=3\vec{a}- 2\vec{b} \end{eqnarray*}$

Zugegeben, ich habe absolut keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll, da ich mir gewohnt bin, mit Koordinaten rechnen zu können. Ich weiss, dass das Skalarprodukt der Betrag der Vektoren mal dem Cosinus des eingeschlossenen Winkel ist.

Selbst wenn ich durch die gegebenen Sachen den Betrag von u und v berechnen könnte, so fehlt mir doch entweder der Winkel, das Skalarprodukt oder die Koordinaten, um die jeweils anderen Angaben berechenn zu können?

12.02.2014, 09:55

Mi_cha

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Das wird ein bisschen umständlich, aber fangen wir mal an:

zunächst kann man mit $\begin{eqnarray*} cos (60°)=\frac{\vec{a}*\vec{b} }{| \vec{a}|| \vec{b} | } \end{eqnarray*}$
bestimmen, was $\begin{eqnarray*} \vec{a}* \vec{b} \end{eqnarray*}$ ist.

Dann verwendet man bekannte Formel mit $\begin{eqnarray*} \vec{u} , \vec{v} \end{eqnarray*}$ , wobei diese durch die angegebenen Beziehungen ersetzt werden:

$\begin{eqnarray*} cos \alpha = \frac{(2\vec{a}+\vec{b})*(3\vec{a}-2\vec{b}) }{| 2\vec{a}+\vec{b} || 3\vec{a}-2\vec{b} | } \end{eqnarray*}$

Das ausmultiplizieren und - ggf. unter Verwendung von $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ - konkrete Werte ermitteln.

12.02.2014, 11:14

decsis

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Vielen Dank, Mi_cha. Ich habe kurz in die Lösungen geschaut, gesucht wird scheinbar nicht das Skalarprodukt von a und b, sondern von Vektoren u und v.

Beim ausmultiplizieren komme ich irgendwie auch nicht weiter:
$\begin{eqnarray*} \cos{\alpha} = \frac{(2\vec{a}+\vec{b})\*(3\vec{a}-2\vec{b})}{|2\vec{a}+\vec{b}||3\vec{a}-2\vec{b}|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos{\alpha} = \frac{6\vec{a}^2-\vec{a}\vec{b}-2\vec{b}^2}{|2\vec{a}+\vec{b}||3\vec{a}-2\vec{b}|} \end{eqnarray*}$

Ich kann ja nun vermutlich nicht einfach die Beträge von a und b einsetzen und so weiterrechnen.

12.02.2014, 11:33

riwe

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Zitat:

Original von decsis

Ich kann ja nun vermutlich nicht einfach die Beträge von a und b einsetzen und so weiterrechnen.

natürlich nicht, aber du kannst doch die Definition des Betrages nutzen

$\begin{eqnarray*} |\vec{x}|=\sqrt{...} \end{eqnarray*}$

12.02.2014, 11:34

Mi_cha

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für die Lösung braucht man den Wert von $\begin{eqnarray*} \vec{a}* \vec{b} \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} \vec{a} ^{2}=16 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = (\sqrt{a_{1} ^{2}+ a_{2} ^{2}+a_{3} ^{2}})^{2} = | \vec{a} | ^{2} =4^{2}=16 \end{eqnarray*}$

ähnliches gilt für $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$

Damit kann man den Zähler ausrechnen.

Für den Nenner berechnet man die Längen der Vektoren, also u.A.:

$\begin{eqnarray*} | \begin{pmatrix} 3a_1-2b_{1} \\ 3a_2-2b_{2} \\ 3a_3-2b_{3} \end{pmatrix} | = \sqrt{(3a_1-2b_{1})^{2}+(3a_1-2b_{1})^{2}+(3a_1-2b_{1})^{2} } \end{eqnarray*}$

Wenn man das ausmultipliziert und richtig sortiert, kommt man unter der Wurzel u.a. auf Ausdrücke wie
$\begin{eqnarray*} 9a_{1} ^{2}+ 9a_{2} ^{2}+9a_{3} ^{2}=9*(a_{1} ^{2}+ a_{2} ^{2}+a_{3} ^{2})=9*16=144 \end{eqnarray*}$

12.02.2014, 12:39

riwe

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das geht einfacher ohne komponenten zu bemühen:

$\begin{eqnarray*} |2\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{4a^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+b^2}=\sqrt{4\cdot 16+4\cdot 6+9} \end{eqnarray*}$

das skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot\vec{b} \end{eqnarray*}$ kannst du ja mit Hilfe des gegebenen Winkels und der Beträge der Vektoren leicht berechnen

analog geht es für den anderen Faktor Augenzwinkern

13.02.2014, 08:59

decsis

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Hallo zusammen, Danke für eure Geduld, ich bin nun etwas weiter gekommen, aber das Resultat ist nicht korrekt.

Gegeben:
$\begin{eqnarray*} |\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, \measuredangle (a,b) = 60° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{u}=2\vec{a}+\vec{b}, \vec{v}=3\vec{a}-2\vec{b} \end{eqnarray*}$

Zuerst berechne ich mal das Skalarprodukt von jeweils $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ mit sich selbst sowie $\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot\vec{b} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a^2 = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}^2 = |a|^2 = 4^2 = 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^2 = \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix} = \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}^2 = |b|^2 = 3^2 = 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(60°) = 6 \end{eqnarray*}$

So, nun an die eigentliche Formel um zuerstmal den Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \cos(\measuredangle (u,v)) = \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}=\frac{(2\vec{a}+\vec{b})\cdot (3\vec{}-2\vec{b})}{|2\vec{a} + \vec{b}| \cdot |3\vec{a}-2\vec{b}|} = \frac{6\vec{a}^2 - \vec{a}\vec{b}-2\vec{b}^2}{|2\vec{a} + \vec{b}| \cdot |3\vec{a}-2\vec{b}|} = \frac{6\cdot 16 - 16\cdot 6 - 2\cdot 9}{\sqrt{(2\vec{a} + \vec{b})^2}\cdot \sqrt{(3\vec{a}-2\vec{b})^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{30}{\sqrt{4\vec{a}^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2}\cdot\sqrt{9\vec{a}^2 - 12\vec{a}\vec{b}+4\vec{b}^2}} = \frac{30}{\sqrt{4\cdot 16 + 4 \cdot 6 + 9}\cdot\sqrt{9\cdot 16 - 12\cdot 6 + 4\cdot 9}} = \frac{30}{\sqrt{96}\cdot\sqrt{108}} = \frac{30}{101.82}=~cos^{-1}(0.29) = 72.86° \end{eqnarray*}$

In der Lösung steht allerdings, dass der Winkel $\begin{eqnarray*} 45.29° \end{eqnarray*}$ beträgt und $\begin{eqnarray*} \vec{u}\vec{v}= 72 \end{eqnarray*}$

13.02.2014, 09:11

Mi_cha

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Das sieht alles sehr gut aus.

Zitat:

Original von decsis

So, nun an die eigentliche Formel um zuerstmal den Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \cos(\measuredangle (u,v)) = \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}=\frac{(2\vec{a}+\vec{b})\cdot (3\vec{}-2\vec{b})}{|2\vec{a} + \vec{b}| \cdot |3\vec{a}-2\vec{b}|} = \frac{6\vec{a}^2 - \vec{a}\vec{b}-2\vec{b}^2}{|2\vec{a} + \vec{b}| \cdot |3\vec{a}-2\vec{b}|} = \frac{6\cdot 16 - 16\cdot 6 - 2\cdot 9}{\sqrt{(2\vec{a} + \vec{b})^2}\cdot \sqrt{(3\vec{a}-2\vec{b})^2}} \end{eqnarray*}$

Du hast dich hier nur hier einmal vertan, denn $\begin{eqnarray*} \vec{a} \vec{b}=6 \end{eqnarray*}$ - wie du richtig berechnet hast. Allersings schreibst du in der Berechnung versehentlich "16*6". Der Zähler ergibt nur einen Wert von 72. Mit diesem erhält man den korrekten Winkel.

13.02.2014, 09:20

decsis

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Ach, Danke! Das war nun aber eine schwere, dafür lehrreiche Geburt... smile

13.02.2014, 10:07

riwe

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und im Nenner steht unter der 1. Wurzel 97 und nicht 96 smile

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