Nutzenfunktion

Neue Frage »

Felixiiiiii Auf diesen Beitrag antworten »
Nutzenfunktion
Meine Frage:
Ich soll mit folgenden Nutzen eine "lineare" Nutzenfunktion aufstellen. Der Ausdruck "linear" verwirrt mit schon seit längerem, bedeutet linear in diesem Fall, dass es sich wirklich nur um eine Polynomfunktion ersten Grades handelt? Bzw. wie stelle ich eine Gleichung dieser Funktion auf.

Meine Ideen:
u(10)=1 ; u(5)=2/3; u(1)=1/4 ; u(0)=0
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich wird eine "Ausgleichsgerade" oder "Regressionsgerade" gesucht, d.h. man sucht zwei Parameter für die Funktion , so dass die Summe der Fehlerquadrate minimal wird.
So geht's : http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Regression
Tipp: Excel kann das.
Venus² Auf diesen Beitrag antworten »

Hier mal ein paar Hintergründe zu Nutzenfunktionen, damit man sich unter der linearen Nutzenfunktion etwas vorstellen kann:

Nutzenfunktionen dienen in der Wirtschaftswissenschaft dazu, ein mehr oder minder abstraktes Gefühl, das der Freude/dem Nutzen eines Individuums nahekommt, mathematisch abzubilden. Die Freude bzw. der Nutzen des Individuums hängt in deinem Fall von einer Variablen ab. Oftmals stellt diese Variable die Menge eines Guts dar.

Man teilt Nutzenfunktionen im Wesentlichen in drei Kategorien ein: konkave, lineare und konvexe Nutzenfunktionen. Die Krümmung modelliert dabei die Risikoaffinität des Individuums. Ein risikoaverses Individuum, d.h. ein Individuum, welches das Risiko versucht zu meiden, hat eine konkave Nutzenfunktion. Den drei Kategorien gemein ist die Beziehung "Je mehr von der Variablen, desto größer der Nutzen". Der Unterschied liegt in der zweiten Ableitung/Krümmung. Ein risikoaverses Individuum misst den ersten Einheiten eines Guts einen höheren Nutzen bei als späteren Einheiten des Guts. Mit anderen Worten, der zusätzliche Nutzen des Individuums aufgrund einer zusätzlichen Einheit der zugrundeliegenden Variablen nimmt mit steigender Menge der Variablen ab. Man spricht hierbei vom "abnehmenden Grenznutzen".

Die Verbindung zum Risiko lässt sich z.B. so herstellen: Steht ein risikoaverses Individuum vor der Wahl, entweder zweimal die Menge x oder einmal die Menge 0 und einmal die Menge 2x zu nehmen, so entscheidet es sich dafür, zweimal die Menge x zu wählen, weil es dann zweimal die gewichtigeren ersten Einheiten des Guts bekommt, während es die Einheiten, die ihm keinen mehr so großen Nutzen wie die ersten x Einheiten stiften (> x) gar nicht erhält. Obwohl also beide Alternativen in der Summe die gleiche Anzahl an Einheiten versprechen, wird die erste vom risikoaversen Individuum bevorzugt. Anstatt als zwei sichere Auszahlungen von (x,x) bzw. (0,2x) kann man diese auch als Auszahlungen in zwei Umweltzuständen interpretieren. Die erste Alternative (x,x) garantiert in beiden Umweltzuständen die Auszahlung x und die zweite Alternative (0,2x) führt im ersten Umweltzustand zu keiner Auszahlung und im zweiten zu einer Auszahlung von 2x. Geht man davon aus, dass beide Zustände mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten, so ist die erwartete Auszahlung zwar gleich, bevorzugt wird jedoch die risikolose Alternative. Das risikoaverse Individuum meidet das Risiko. Die zusätzlichen Einheiten bei Inkaufnahme des Risikos sind dem Individuum das Risiko bei gleichem Erwartungswert nicht wert.

Ein risikoneutrales Individuum, das eine lineare Nutzenfunktion besitzt, ist hingegen indifferent zwischen den Alternativen (x,x) und (0,2x): Spätere zusätzliche Einheiten erhöhen seinen Gesamtnutzen um den gleichen Betrag wie frühere.
Felixiiiii Auf diesen Beitrag antworten »
Danke
Erstmal vielen Dank für die ausführliche Antwort!!!
Aber ich glaube ich habe meine Frage ein wenig zu kurz formuliert. Hier das Beispiel:
Angenommen eine Person, bei welcher die Präferenzen der von Neumann und Morgenstern axiome erfüllen, und welche immer mehr Geld weniger Geld vorzieht, sagt:
Er ist indiferrent zwischen 500Euro erhalten und an einer Lotterie, mit der wahrscheinlichkeit 1000Euro mit 2/3 und 0 Euro mit 1/3 zu erhalten, teilzunehmen.
und: Er ist indiferrent zwischen 100Euro erhalten und an einer Lotterie, mit der wahrscheinlichkeit 500Euro mit 3/8 und 0 Euro mit 5/8 zu erhalten, teilzunehmen.
Finde eine lineare Nutzenfunktion welche die Präferenzen dieser Person erfüllt und diese Bedingung erfüllt: u(1000)= 1 und u(0)= 0.
Ich hoffe ich habe die Nutzen der andern Beträge richtig ausgerechnet!
Felixiiiii Auf diesen Beitrag antworten »
Ad
Noch etwas, die Angabe ist English hier der genaue Wortlaut: Find a linear utility function representing this person´s preferences, and in addition satisfying u(1000)= 1 and u(0)=0.
Ich bin folgendermaßen bei der Nutzenberechnung der anderen Beträge vorgegangen:
u(500)=[2/3(1000), 1/3(0)] //hier für 1000 1 und für 0 0 einsetzen
u(500)=2/3
Venus² Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du schon einmal daran gedacht, dass sich die gegebenen Präferenzen nicht durch eine lineare Nutzenfunktion abbilden lassen, wenn zudem u(1000)=1 und u(0)=0 gelten muss?
 
 
Felixiiiii Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich nicht wirklich, da die Angabe ja eine lineare Nutzenfunktion verlangt. :/ Vielleicht ist mein English einfach nicht gut genug aber im Buch steht auch noch etwas dazu: "A convenient property that such a utility function can satisfy is linearity, meaning that the number assigned to a lottery is equal to the expected value of the numbers assigned to the individual outcomes over which the lottery is being conducted".
Venus² Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felixiiiii
"A convenient property that such a utility function can satisfy is linearity, meaning that the number assigned to a lottery is equal to the expected value of the numbers assigned to the individual outcomes over which the lottery is being conducted".


Was genau ist damit gemeint?
Felixiiiii Auf diesen Beitrag antworten »

"Given an extended preference relation of a player, which includes preferences over both individual outcomes and lotteries, we can again ask whether such a relation can be represnted by a utility function. In other words, can we assign a real number to each lottery in such a way that one lottery is preferred by the player to another lottery if and only if the number assigned to the more-preferred lottery is greater than the number assigned to the less-preferred lottery?" ---> Absatz davor
Hier ist die genaue Definition: "A utility funcition ui is calles linear if for every lottery L= [p1(A1),p2(A2),...,pk(Ak)], it satisfies:
ui(L)=p1ui(A1)+p2ui(A2)+...+pkui(Ak)."
A ist hierbei ein Ergebnis einer Lotterie, p die Wahrscheinlichkeit und ui der Nutzen des Spielers i.
weiteres steht hier noch: " As noted above, the term "linear" expresses the fact that the function ui is a linear function in the probabilities (pk)Kk=1 . If a utility function is linear the utility of a lottery is the expected value of the utilities of the outcomes. A linear utility function is also calles a von Neumann-Morgenstern utility function.
Venus² Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, mit Linearität ist also hier nicht die Linearität im risikoneutralen Sinne gemeint, sondern die Linearität der Von-Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion in den Gewichten.

Die Aufgabenstellung scheint nun zu verlangen, dass du eine Von-Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion ui findest, die deine vier Punkte enthält. Und ich denke, dass du die Lösung unwissentlich bereits in deinem ersten Post niedergeschrieben hast Augenzwinkern . Du hast eine Funktion der Form ui(L)=p1ui(A1)+p2ui(A2)+...+pkui(Ak) bereits durch u(1000)=1 ; u(500)=2/3; u(100)=1/4 ; u(0)=0 bestimmt. Es genügt, ein allgemeines u anzugeben, du brauchst keine bestimmte Form für u wie z.B. u = x^2 + px +q. Wichtig ist hier, dass deine u-Werte mit ui(L)=p1ui(A1)+p2ui(A2)+...+pkui(Ak) im Einklang sind und das sind sie, weil du sie nach dieser Art bestimmt hast über u(500) = 2/3*u(1000) + 1/3*u(0) = 2/3 usw.
Felixiiiii Auf diesen Beitrag antworten »

VIELEN DANK!!!! Ich bin ziemlich lange an diesem Begriff "linear" gescheitert! Vielen Dank, du warst eine riesen Hilfe!!! smile
Venus² Auf diesen Beitrag antworten »

Freut mich, das zu hören smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »