Wenn Zahl prim dann Komplex kongugierte Zahl auch Prim

12.02.2014, 18:52	tammi20022	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Zahl prim dann Komplex kongugierte Zahl auch Prim Meine Frage: Hallo, ich schreibe am Freitag Einführung in die ALgebra und Zahlentheorie. WIr haben ein Vorbereitungsblatt bekommen. Leider kann ich einen Beweis davon nicht lösen. Es handelt sich um folgende Aufgabe: Es sei R={a+bi\|a,b $\begin{eqnarray} \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ } $\begin{eqnarray} \subseteq \mathbb C \end{eqnarray}$ der Ring der Gauß'schen Zahlen. FÜr r=a+bi $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R definieren wir r'=a-bi. Zeigen Sie: a) Wenn q $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R prim ist, dann ist auch q' prim. b) Wenn p $\begin{eqnarray} \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ eine Primzahl ist, so ist p prim in R oder p = a²+b² mit a+bi $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R prim Hinweise zur b) Erinnern sie sich daran dass R faktoriell ist und betrachten sie eine Primfaktorzerlegung von q un q'. Die Einheitengruppe von R ist { $\begin{eqnarray} \pm 1,\pm i \end{eqnarray}$ }, dh. enthält alle Zahlen aus R vom (komplexen) Betrag 1. Meine Ideen: Naja, erstmal die Definition. q prim heißt: q ist keine Einheit, q $\begin{eqnarray} \neq0 \end{eqnarray}$ , q\|xy $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ q\|x oder q\|y Ideen zur a) Wenn q prim ist, dann ist q keine Einheit, also ist der komplexe Betrag von q ungleich 1. Da dieser dem komplexen Betrag von q' entspricht ist dieser auch ungleich 1 und q' somit keine Einheit. Ebenso follgt aus q $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ 0, dass q $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ 0 Also angenommen q'\|xy mit xy $\begin{eqnarray} \in \mathbb C \end{eqnarray}$ . Also: q'=a-bi\|(m+ni)(r+si) (mit x=m+ni, y=r+si) Also: ((m+ni)(r+si))/(a-bi)=((m+ni)(r+si)(a+bi))/(a²+b²) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ a²+b²\| (m+ni)(r+si)(a+bi) Jetzt wollte ich eigentlich damit weitermachen zu sagen dass a²+b² nicht (a+bi) teilt und daher einen der anderen beiden Faktoren teilen muss... aber ich glaube das geht schief.... mehr Ideen hab ich zur a) leider nicht... Ideen zur b) Sei p $\begin{eqnarray} \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ Primzahl p $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R ist entweder zerlegbar oder unzerlegbar 1. Sei p $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R unzerlegbar , R faktoriell $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ p prim 2. Sei p $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R zerlegbar, also $\begin{eqnarray} p= p_1 p_2 * ... p_r \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} p_k =a+bi \end{eqnarray}$ Folglich muss es ein $\begin{eqnarray} p_l \end{eqnarray}$ geben mit $\begin{eqnarray} p_l=a-bi \end{eqnarray}$ , denn sonst könnte das p nicht $\begin{eqnarray} \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ sein Mit (a+bi)(a-bi)=a²+b² folgt: $\begin{eqnarray} p=(a²+b²)p_1p_2* \end{eqnarray}$ ..... Setzt man das fort erhält man : p=(a²+b²)(c²+d²).....(x²+y²) Also sind alle Faktoren $\begin{eqnarray} \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ und somit ist p keine Primzahl.Widerspruch zur VOraussetzung. Also kann p nur einen Faktor (a²+b²) besitzen. Für diesen gilt a+bi $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray*}$ R prim Es kann sein, dass das alles totaler Quatsch ist, aber leider hab ich keine bessere Idee Ich hoffe ihr könnt mir bis Freitag helfen!
12.02.2014, 19:21	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wenn Zahl prim dann Komplex kongugierte Zahl auch Prim Hallo, Für das erste: nehme eine Primfaktorzerlegung von q', schmeiße Konjugation drauf und du erhälst eine Primfaktorzerlegung von q. Für das zweite: benutze Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung (Z[i] ist Dedekind). Nehme eine Zerlegung von p in Primfaktoren. Schmeiß Konjugation drauf. Nun müssen die gleich sein. Also folgt die Behauptung. lg
12.02.2014, 19:30	tammi20022	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für die schnelle Antwort!! Aber i-wie kann ich damit noch nicht so viel anfangen, kann man das vielleicht etwas kleinschrittiger machen? Zur a) : Ich soll eine Primfaktorzerlegung von q' aufstellen. Sei diese OE $\begin{eqnarray} q'=p_1p_2....P_r \end{eqnarray*}$ . Was meinst du dann mit Konjugation drauf schmeißen?
12.02.2014, 19:36	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Wenn du das konjugierst, dann hast du auf der linken Seite q und auf der rechten Seite einer Zerlegung von q (das benötigt natürlich, dass das Konjugierte einer Nichteinheit wieder eine Nichteinheit ist, was aber sofort daraus folgt, dass die Einheiten in Z[i] gerade die Elemente mit Norm +/- 1 sind).
12.02.2014, 19:39	tammi20022	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, das scheint klar. Aber was sagt mir das in Bezug auf die prim-Eigenschaft?
12.02.2014, 21:19	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass q' prim iff q prim.
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